Avgör om funktionen är differentiera
Hej!
Jag fastnade på d) hur ska man tänka?
k(x,y) = 1 + xy/(x2+y2)
K(0,y) = 1 för y ≠ 0 och 0 för y = 0
Funktionen är inte kontinuerlig i origo, alltså inte differentierbar där.
Mogens skrev:k(x,y) = 1 + xy/(x2+y2)
K(0,y) = 1 för y ≠ 0 och 0 för y = 0
Funktionen är inte kontinuerlig i origo, alltså inte differentierbar där.
Hänger ej med på vad du gör tyvärr ..
Mogens skrev:
Ja precis så det innebär att gränsvärdet är 1 för när x går mot 0? Förstår ej varför facit säger att den är definierabar i punkten (1,2)?
I punkten (1, 2) finns inga konstigheter. Det är bara att sätta in punkten i derivatan.
OK, jag missade att det handlade om (1, 2). Som Laguna säger, där är det grönt. Den enda punkten som ställer till det är origo. Ursäkta, begripligt om du inte förstod mitt svar.
Laguna skrev:I punkten (1, 2) finns inga konstigheter. Det är bara att sätta in punkten i derivatan.
Så man ska derivera med avseende på x och y och sätta in punkten (1,2 )i båda fallen och se vad derivatan visar då man deriverat med avseende på x och sen med avseende på y?
Mogens skrev:OK, jag missade att det handlade om (1, 2). Som Laguna säger, där är det grönt. Den enda punkten som ställer till det är origo. Ursäkta, begripligt om du inte förstod mitt svar.
Hm okej jag förstår haha. Men då ska jag ej titta på origo utan punkten i fråga eller hur? Differentierbarhet har väl art göra med att båda derivatan ska vara lika för x och y. Osäker över om gränsvärde är med i bilden dock
Jag får återkomma senare om ingen annan hunnit göra det före mig. Upptagen nu
Utanför origo är
dk/dx = [(x2+y2)(2x+y) – (x2+y2+xy)2x] / [(x2+y2)2]
och symmetriskt för dk/dy.
Visst, man kan utveckla och förenkla, men jag ser inte varför de partiella derivatorna skulle vara diskontinuerliga i (1, 2). Och som jag minns det är det ett tillräckligt villkor för differentierbarhet i en punkt att de partiella derivatorna är kontinuerliga i punkten.
Så JA k(x,y) är differentierbar i (1, 2).
Mogens skrev:Utanför origo är
dk/dx = [(x2+y2)(2x+y) – (x2+y2+xy)2x] / [(x2+y2)2]
och symmetriskt för dk/dy.
Visst, man kan utveckla och förenkla, men jag ser inte varför de partiella derivatorna skulle vara diskontinuerliga i (1, 2). Och som jag minns det är det ett tillräckligt villkor för differentierbarhet i en punkt att de partiella derivatorna är kontinuerliga i punkten.
Så JA k(x,y) är differentierbar i (1, 2).
Jag kanske är väldigt trög,men hur fick du däruppe? Jag förstår ej vad det är för förenklingar du gör..har du deriverat eller vad gjorde du?
Jo dk/dx och dk/dy är partiella derivator.
Frågan var: Är k(x,y) differentierbar i (1, 2)?
Definitionen av deriverbarhet är snårig.
Men enligt vad jag lärde mig för drygt femtio år sedan så är en funktion differentierbar i en punkt om de partiella derivatorna i punkten är kontinuerliga.
Jag har inte förenklat uttrycken jag fick fram, det kanske ska göras, men kan inte se varför de inte skulle vara kontinuerliga. Så jag drar slutsatsen att k(x, y) är differentierbar i (1, 2).
Mogens skrev:Jo dk/dx och dk/dy är partiella derivator.
Frågan var: Är k(x,y) differentierbar i (1, 2)?
Definitionen av deriverbarhet är snårig.
Men enligt vad jag lärde mig för drygt femtio år sedan så är en funktion differentierbar i en punkt om de partiella derivatorna i punkten är kontinuerliga.
Jag har inte förenklat uttrycken jag fick fram, det kanske ska göras, men kan inte se varför de inte skulle vara kontinuerliga. Så jag drar slutsatsen att k(x, y) är differentierbar i (1, 2).
Yes så hur vet du att partiella derivatorna i punkten är kontinuerliga? Har du deriverat o satte in punkten?
Nej jag har inte kollat. Men sammansättningar av elementära funktioner är normalt kontinuerliga när det inte blir nollor i nämnaren och annat oknytt.
Mogens skrev:Nej jag har inte kollat. Men sammansättningar av elementära funktioner är normalt kontinuerliga när det inte blir nollor i nämnaren och annat oknytt.
Ah okej men om man ej ser detta framför sig precis som du gör kan man då derivera och sätta in punkten right?
Nu förstår jag inte vad du menar.
Jag deriverade. Jag brydde mig inte om att förenkla derivatorna, men det kanske du kan fixa.
Att sedan sätta in punkten tycker jag inte ger så mycket – du får ett värde (eller två noga räknat) – vad säger det?
Man måste göra en bedömning: Är derivatorna kontinuerliga i punkten? Om man är riktigt, riktigt noga så får man göra gränsvärdesbestämningar, men kanske kan man titta på uttrycket och se att det inte ”händer” något uppskakande i punkten.
Du hanterar ju ofta uttryck som ex, x3 osv utan att kolla om de är kontinuerliga eller deriverbara. Och står det x3/ex så deriverar du utan att undersöka ifall det är tillåtet.
Mogens skrev:Nu förstår jag inte vad du menar.
Jag deriverade. Jag brydde mig inte om att förenkla derivatorna, men det kanske du kan fixa.
Att sedan sätta in punkten tycker jag inte ger så mycket – du får ett värde (eller två noga räknat) – vad säger det?
Man måste göra en bedömning: Är derivatorna kontinuerliga i punkten? Om man är riktigt, riktigt noga så får man göra gränsvärdesbestämningar, men kanske kan man titta på uttrycket och se att det inte ”händer” något uppskakande i punkten.
Du hanterar ju ofta uttryck som ex, x3 osv utan att kolla om de är kontinuerliga eller deriverbara. Och står det x3/ex så deriverar du utan att undersöka ifall det är tillåtet.
Nu säger jag bara hur jag ska lösa uppgiften och dra slutsatsen om den är kontinuerlig i punkten eller ej. Vet ej riktigt vad du menar att man bör göra för att se svaret snabbare. Laguna föreslog väl att derivera funktionen och sätta in punkten för att se om det stämmer. Jag förenklade svaret och såg att det faktiskt stämmer. Tack för hjälpen!
