avgör om felet garantera mindre vid taylorapproximation upp2 (envariabelanalys)

C ska vara mellan x och a, men i det här fallet blir det samma. C behöver inte vara samma tal som x, så vill du uppskatta resttermen uppåt så mkt det går här så får du den större om c=0.

Då får du 1/3000. Är det större eller mindre än 0,0005?

Micimacko skrev:

C ska vara mellan x och a, men i det här fallet blir det samma. C behöver inte vara samma tal som x, så vill du uppskatta resttermen uppåt så mkt det går här så får du den större om c=0.

Då får du 1/3000. Är det större eller mindre än 0,0005?

så en kvot blir alltid mindre om man ersätter ett tal c som finns i nämnaren med något annat tal < 1 ? det som förvirrar mig

Hej,

Funktionen $f$ kan skrivas som en summa av Maclaurinpolynomet $P_2$ och en restterm på Lagrange-form.

    $f(x) = P_2(x) + L_2(x)$ 

där

    $L_2(x) = f^{(3)}(c_x)\cdot \frac{x^3}{3!}$

för något okänt tal $c_x$ som ligger någonstans i öppna intervallet $(0,x).$ 

Med $f(x) = \ln(1+x)$ blir $f^{(3)}(x) = 2(1+x)^{-3}$ som är en strängt avtagande funktion på intervallet $(0,\infty).$ Det medför att

    $f^{(3)}(c_x) < f^{(3)}(0)$ då $0 < c_x$

och eftersom $f^{(3)}(0) = 2$ så kan man säga att

    $\displaystyle L_2(x) < \frac{x^3}{3}.$

Om man vet att $x < 10^{-n}$ så blir följaktligen resttermen mindre än $10^{-3n}.$