avgör om f kan definieras i x = 1
Funktionen f är definierad på intervallet och definieras här av regeln
avgör om f kan definieras i x = 1 så att
f antar ett minsta värde
f är kontinuerlig
---
för att funktionen ska vara kontinuerlig så måste det västra och högra gränsvärdet vara lika dvs att de närmar sig åt samma värde.
Så funktionen är inte kontinuerlig då högra och vänstra gränsvärden är inte lika så svaret är nej. Jag förstår inte riktigt vad de menar med "avgör om f kan definieras i x = 1 så att f antar ett minsta värde"
Med höger och vänster gränsvärde menar man i samma punkt, men här finns din funktion bara till höger om punkten du undrar över, så det spelar ingen roll vad som händer till vänster. Eftersom du räknade ut hela gränsvärdet i 1 och fick fram ett svar så gäller det från båda håll.
Med minsta värde menar man att funktionen har en lägsta punkt, som man skulle kunna hitta tex genom att derivera.
Micimacko skrev:Med höger och vänster gränsvärde menar man i samma punkt, men här finns din funktion bara till höger om punkten du undrar över, så det spelar ingen roll vad som händer till vänster. Eftersom du räknade ut hela gränsvärdet i 1 och fick fram ett svar så gäller det från båda håll.
Med minsta värde menar man att funktionen har en lägsta punkt, som man skulle kunna hitta tex genom att derivera.
är inte funktionens minsta värde x = 1 då 1 är minsta värdet funktionen antar i intervallet men funktionen är inte definierad i x = 1 så f saknar minsta värde?
Jag är osäker på om funktionen är kontinuerlig eller inte och hur man antar det. När jag ritar funktionen ser jag att den är kontinuerlig men kan man räkna ut det algebraiskt?
Funktionen kan ha en minsta punkt även om den inte är kontinuerlig.
f är positiv för alla x i det angivna definitionsområdet (1, oändl), och f går mot 0 när x går mot oändligheten. Ett minsta värde måste antas i någon punkt (dvs tillhöra värdemängden), men vilket x-värde du än tar är funktionsvärdet där positivt och det finns alltid ett större x-värde (alltså närmare oändligheten) där funktionsvärdet är ännu mindre. Därför saknar denna funktionen ett minsta värde i sitt Df. (Trots att den inte kan bli mindre än 0).
Frågorna gällde vad som händer om definitionsområdet utökas med x = 1.
Jag är lite förvirrad, så det är inte så att funktionen saknar ett minsta värdet för f inte är definierat för minsta värdet i definitionsmängden dvs 1?
f går mot 0 när x går mot oändligheten och f går mot 1 när x går mot 1, (jag förstår inte vad jag ska ta för slutsats från detta att gränsvärden är olika beroende på vilket håll vi studerar funktionen ifrån) - När ska vi ta hänsyn till och vad betyder att höger och vänster gränsvärde är lika?
Är funktionen kontinuerlig för att det är en rationell funktion? (kan man ta reda på ifall en funktion är kontinuerlig genom att räkna gränsvärdet?)
Jag tolkar frågan som att man ska betrakta
a) f har ett minsta värde
b) f är kontinuerlig
oberoende av varandra. Är det a eller b vi pratar om?
Laguna skrev:Jag tolkar frågan som att man ska betrakta
a) f har ett minsta värde
b) f är kontinuerlig
oberoende av varandra. Är det a eller b vi pratar om?
ja delfrågorna är oberoende.
mitt svar på a är att funktionen saknar ett minsta värde då funktionen är inte definierad för minsta värdet i definitions mängden dvs x = 1
jag vet inte om resonemanget stämmer
mitt svar på b (rent spontant) är att ja, funktionen är kontinuerlig för att det är en rationell funktion. Men jag lärde mig något om att om funktionsvärdet för t.ex x=0 och gränsvärdet för när x går mot a är lika då är funktionen kontinuerlig.
Sedan testade jag räkna ut gränsvärdet för när x = 1 och x = oändligheten och fick två olika värden.
(Det med att höger och vänster gränsvärdet ska vara lika, är det för när en funktion ska bli kontinuerlig i en specifik punkt?)
I boken står det att om funktionsvärdet x = a och gränsvärdet lim x--a är lika då är funktionen kontinuerlig. (hur kan jag använda detta för att bestämma ifall funktionen ovan är kontinuerlig eller ej?)
Du ställer tre frågor i de tre styckena ovan. Tar dem i tur och ordning.
Fråga 1. a) En funktion (i allmänhet) kan ha ett minsta värde eller sakna sådant.
b) Det minsta värdet (om den har något) behöver inte inträffa för det minsta x-värdet i Df (om Df skulle ha ett sådant minsta värde över huvud taget).
Fråga 2. a) Du konstaterar att f går mot 1 när x går mot ett. Att se efter om f går mot något när x går mot oändligheten är INTE att gå mot 1 vare sig från höger eller vänster, utan för att undersöka om det finns mindre funktionsvärden än 1, för då är ju inte 1 det minsta värdet.
b) Din förvirring är inte ditt fel. Den illustrerar väl gymnasiekursernas problem: att införa nya begrepp med skyffel utan att ge nödvändig tid för begreppen att hinna mogna. Här är det begreppet gränsvärde som ställer till det. På gymnasiet finns ingen strikt definition på gränsvärde (t ex kommer den s k epsilon-deltadefinitionen först på universitetsnivå). Sedan vräks det på med höger- och vänstergränsvärden. Konstatera bara: Om höger- och vänstergränsvärdet inte är lika i en punkt, så har funktionen INTE något gränsvärde i den punkten och utan gränsvärde är den inte kontinuerlig där, Hoppsan!, där slank ytterligare ett begrepp in: KONTINUERLIG.
Fråga 3. a) Ett rationellt tal är ju en kvot mellan två tal. På samma sätt är en rationell funktion en kvot mellan två polynom. Nämnaren kan ha nollställen. Dessa kallas singulariteter. Du kan betrakta det som en sats: rationella funktioner är kontinuerliga för alla reella tal utom i singulariteterna.
b) Besvarad under punkt 2b
Ditt svar på a är att funktionen inte har ett minsta värde, men frågan var inte om den har ett minsta värde, utan om du kan göra så den får ett minsta värde genom att definiera dess värde i x = 1.
Mina svar syftade till att besvara frågeställaren genom att förklara hur det fungerar - inte för att lösa själva uppgiften. Men OK: Vi utvidgar Df med x=1 och sätter f(1)= -100. Men då blir f inte kontinuerlig i x=1 (än mindre deriverbar). Om vi ska få den kontinuerlig i det nya Df måste vi definiera f(1)= 1, och då visar utredningen om gränsvärdet när x går mot oändligheten att funktionen saknar minsta värde eftersom oändligheten inte tillhör R. Om frågorna i uppgiften är oberoende av varandra är svaret därför JA på båda frågorna. Om inte så är kontinuitet och existens av minsta värde oförenliga i detta fall.
