Avgör om det finns punkter med maximalt avstånd till origo på kurva

Uppgiften (en del av den) är att avgöra om det finns punkter på kurvan $x^{2} + y^{2} + 3 x y = 5$

med maximal avstånd till origo.

Så svaret i facit står det som lösningsförslag att

$x^{2} + y^{2} + 3 x y = 5$ har med ett fixt y de reella lösningarna :

$x = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{5 + \frac{5}{4} y^{2}}$ och eftersom y kan väljas godtyckligt stort så kan också avståndet från origo till punkten $(- \frac{3}{2} \pm \sqrt{5 + \frac{5}{4} y^{2}}, y)$ göras godtyckligt stort och därför saknas maximalt avstånd.

Jag antar att rotformeln användes här alltså för $a x^{2} + b x + c = 0$ är lösningarna

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Jag får att $x = \frac{- 3 y \pm \sqrt{5 y^{2} + 20}}{2}$ . Är det korrekt? Kan man skriva om ekvationen så att y endast hamnar innanför kvadratroten?

Ja, det är korrekt, om du bryter ut en 4 från rottecknet får du samma uttryck som facit. Jag antar att du skrev av fel när du skrev medelpunkten som -3/2 istället för -3y/2.

Det går att skriva så att endast y hamnar innanför kvadratroten men det är komplicerat och ger två olika svar beroende på om y är väldigt litet eller väldigt stort.

Jag tror att facit har tappat bort ett y i första termen.

Så här ser kurvan ut.

Hej!

Det kvadrerade avståndet ( $d^2$ ) mellan origo $(0,0)$ och en punkt $(x,y)$ på kurvan är $d^2 = (x-0)^2+(y-0)^2 = x^2+y^2$ . Det gäller att undersöka maximum för funktionen $f(x,y)=x^2+y^2$ under bivillkoret $x^2+y^2+3xy=5.$

Med kvadratkomplettering kan man skriva bivillkoret

$(x+1.5y)^2-1.25y^2=5\iff \frac{(x+1.5y)^2}{(\sqrt{5})^2}-\frac{(\sqrt{1.25 y})^2}{(\sqrt{5})^2} = 1$ .

Detta är ekvationen för en hyperbel och punkter som ligger på denna kan ligga hur långt från (0,0) som helst.

Albiki skrev:
Hej!
Det kvadrerade avståndet ( $d^2$ ) mellan origo $(0,0)$ och en punkt $(x,y)$ på kurvan är $d^2 = (x-0)^2+(y-0)^2 = x^2+y^2$ . Det gäller att undersöka maximum för funktionen $f(x,y)=x^2+y^2$ under bivillkoret $x^2+y^2+3xy=5.$
Med kvadratkomplettering kan man skriva bivillkoret
$(x+1.5y)^2-1.25y^2=5\iff \frac{(x+1.5y)^2}{(\sqrt{5})^2}-\frac{(\sqrt{1.25 y})^2}{(\sqrt{5})^2} = 1$ .
Detta är ekvationen för en hyperbel och punkter som ligger på denna kan ligga hur långt från (0,0) som helst.

Tack !

Smaragdalena skrev:
Jag tror att facit har tappat bort ett y i första termen.
Så här ser kurvan ut.

Ja så måste det vara!

Svara

Visa senaste svar