5 svar
110 visningar
Fannywi behöver inte mer hjälp
Fannywi 162 – Fd. Medlem
Postad: 6 aug 2019 19:38

Avgör om det finns punkter med maximalt avstånd till origo på kurva

Uppgiften (en del av den) är att avgöra om det finns punkter på kurvan x2+y2+3xy=5

med maximal avstånd till origo. 

Så svaret i facit står det som lösningsförslag att

x2+y2+3xy=5 har med ett fixt y de reella lösningarna :

x=-32±5+54y2 och eftersom y kan väljas godtyckligt stort så kan också avståndet från origo till punkten (-32±5+54y2, y) göras godtyckligt stort och därför saknas maximalt avstånd. 

Jag antar att rotformeln användes här alltså för ax2+bx+c=0är lösningarna

x=-b±b2-4ac2a.

Jag får att x=-3y±5y2+202.  Är det korrekt? Kan man skriva om ekvationen så att y endast hamnar innanför kvadratroten?

SaintVenant 3957
Postad: 6 aug 2019 20:02

Ja, det är korrekt, om du bryter ut en 4 från rottecknet får du samma uttryck som facit. Jag antar att du skrev av fel när du skrev medelpunkten som -3/2 istället för -3y/2. 

Det går att skriva så att endast y hamnar innanför kvadratroten men det är komplicerat och ger två olika svar beroende på om y är väldigt litet eller väldigt stort.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 6 aug 2019 20:23

Jag tror att facit har tappat bort ett y i första termen.

Så här ser kurvan ut.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 6 aug 2019 21:00

Hej!

Det kvadrerade avståndet (d2d^2) mellan origo (0,0)(0,0) och en punkt (x,y)(x,y) på kurvan är d2=(x-0)2+(y-0)2=x2+y2d^2 = (x-0)^2+(y-0)^2 = x^2+y^2. Det gäller att undersöka maximum för funktionen f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2 under bivillkoret x2+y2+3xy=5.x^2+y^2+3xy=5.

Med kvadratkomplettering kan man skriva bivillkoret

    (x+1.5y)2-1.25y2=5(x+1.5y)2(5)2-(1.25y)2(5)2=1(x+1.5y)^2-1.25y^2=5\iff \frac{(x+1.5y)^2}{(\sqrt{5})^2}-\frac{(\sqrt{1.25 y})^2}{(\sqrt{5})^2} = 1.

Detta är ekvationen för en hyperbel och punkter som ligger på denna kan ligga hur långt från (0,0) som helst.

Fannywi 162 – Fd. Medlem
Postad: 6 aug 2019 21:12
Albiki skrev:

Hej!

Det kvadrerade avståndet (d2d^2) mellan origo (0,0)(0,0) och en punkt (x,y)(x,y) på kurvan är d2=(x-0)2+(y-0)2=x2+y2d^2 = (x-0)^2+(y-0)^2 = x^2+y^2. Det gäller att undersöka maximum för funktionen f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2 under bivillkoret x2+y2+3xy=5.x^2+y^2+3xy=5.

Med kvadratkomplettering kan man skriva bivillkoret

    (x+1.5y)2-1.25y2=5(x+1.5y)2(5)2-(1.25y)2(5)2=1(x+1.5y)^2-1.25y^2=5\iff \frac{(x+1.5y)^2}{(\sqrt{5})^2}-\frac{(\sqrt{1.25 y})^2}{(\sqrt{5})^2} = 1.

Detta är ekvationen för en hyperbel och punkter som ligger på denna kan ligga hur långt från (0,0) som helst.

Tack !

Fannywi 162 – Fd. Medlem
Postad: 6 aug 2019 21:13
Smaragdalena skrev:

Jag tror att facit har tappat bort ett y i första termen.

Så här ser kurvan ut.

Ja så måste det vara!

Svara
Close