Avgör konvergens

Hej! Jag behöver lite hjälp att reda ut följande serie:

$\sum _{k=1}^{\infty } \frac{2k+5}{k^4+7k^2}$

Om jag bryter ut dominerande term i täljare/nämnare så att: 
$\frac{2k+5}{k^4+7k^2}=\frac{k(2+{\displaystyle \frac{5}{k}})}{k^4(1+{\displaystyle \frac{7}{k^2}})}=\frac{1}{k^3}\times \frac{2+{\displaystyle \frac{5}{k}}}{1+{\displaystyle \frac{7}{k^2}}}$

Där:  $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^3}$är känt konvergent och $\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{2+{\displaystyle \frac{5}{k}}}{1+{\displaystyle \frac{7}{k^2}}}=2 > 0 då k \to \infty$

så borde det räcka för att säga att även $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2k+5}{k^4+7k^2}$,  är konvergent enligt Jämförelsesats för positiva serier? (Vilken den ju också är enligt facit).

Men enligt facit så löser det uppg såhär
Är mitt sätt att lösa fel (och jag har tur att det stämmer?) eller är det bara 2 sätt att lösa det på? Jag förstår inte heller hur de specifikt landar i just $\frac{2k+5}{k^4+7k^2}\le \frac{7k}{k^4}$?