Avgör egenskaperna hos relationen (reflexiv etc)

Z^2 är mängden talpar (a,b) sådana att a och b är heltal. Relationen aRb gäller alltså endast om ab>=0 till exempel -1R-2 eftersom att (-1)*(-2)=2>=0.

(Ursäkta den klumpiga notationen, första svaret jag skriver här, har inte kommit på hur man får inkluderande olikheter osv än)

Det som är lite förvirrande med relationer är att det finns två sätt att betrakta dem. Har vi till exempel en relation ~ definied på en mängd M finns det två synsätt:

1. Intuitivt tar ~ element a och b från M, och skapar ett påstående a~b som kan vara sant eller falskt. 

2. Formellt är ~ en delmängd av den kartesiska produkten MxM.

Dessa två synsätt kan man koppla ihop genom att säga att påståendet a~b bara är en förkortning för att paret (a,b) tillhör den mängden ~. Det kan man uttrycka med ekvivalensen

   a ~ b <=> (a,b) € ~ .

Alternativt kan man låta mängden ~ består av alla par (a,b) € MxM sådana att påståendet a~b är sant, dvs.

  ~ = { (a,b) € MxM : a~b } .

I ditt fall har du en relation R på Z, som formellt är en delmängd av den kartesiska produkten ZxZ, nämligen

   R = { (a,b) € ZxZ : ab>= 0 } ,

men informellt kan vi tänka att R skapar ett ett påstående aRb för varje par av heltal a och b.

När du nu ska kontrollera reflexivitet, symmetri osv. är det enklast att använda den informella tolkningen. Så vad betyder då aRb? Jo, som vi tidigare sa är det bara ett annat sätt att säga att

   (a,b) € R,

och om vi läser av definitionen av mängden R, så är det i sin tur samma sak som att

   ab >= 0.

Så för kontrollera reflexivitet (dvs. kolla om aRa gäller för alla a € Z) behöver vi kontrollera om

   a*a>=0 för alla heltal a,

vilket uppenbarligen stämmer (dela upp i fall: om a>0 är a*a>0, om a=0 är a*a=0, och om a<0 är a*a>0), så R är reflexiv.

Du kontrollerar andra egenskaper (t.ex. symmetri, antisymmetri och transitivitet eller vad ni nu har gått igenom för egenskaper hos relationer) på motsvarande sätt.

Luddem skrev :

Z^2 är mängden talpar (a,b) sådana att a och b är heltal. Relationen aRb gäller alltså endast om ab>=0 till exempel -1R-2 eftersom att (-1)*(-2)=2>=0.

(Ursäkta den klumpiga notationen, första svaret jag skriver här, har inte kommit på hur man får inkluderande olikheter osv än)

Tack Ludden för förklaringen. Då innebär det att relationen inte gäller då +1R-2?

Ja, det är korrekt att 1 och -2 inte är relaterade till varandra.

oggih skrev :

Det som är lite förvirrande med relationer är att det finns två sätt att betrakta dem. Har vi till exempel en relation ~ definied på en mängd M finns det två synsätt:

1. Intuitivt tar ~ element a och b från M, och skapar ett påstående a~b som kan vara sant eller falskt. 

2. Formellt är ~ en delmängd av den kartesiska produkten MxM.

Dessa två synsätt kan man koppla ihop genom att säga att påståendet a~b bara är en förkortning för att paret (a,b) tillhör den mängden ~. Det kan man uttrycka med ekvivalensen

   a ~ b <=> (a,b) € ~ .

Alternativt kan man låta mängden ~ består av alla par (a,b) € MxM sådana att påståendet a~b är sant, dvs.

  ~ = { (a,b) € MxM : a~b } .

---

 

I ditt fall har du en relation R på Z, som formellt är en delmängd av den kartesiska produkten ZxZ, nämligen

   R = { (a,b) € ZxZ : ab>= 0 } ,

men informellt kan vi tänka att R skapar ett ett påstående aRb för varje par av heltal a och b.

När du nu ska kontrollera reflexivitet, symmetri osv. är det enklast att använda den informella tolkningen. Så vad betyder då aRb? Jo, som vi tidigare sa är det bara ett annat sätt att säga att

   (a,b) € R,

och om vi läser av definitionen av mängden R, så är det i sin tur samma sak som att

   ab >= 0.

Så för kontrollera reflexivitet (dvs. kolla om aRa gäller för alla a € Z) behöver vi kontrollera om

   a*a>=0 för alla heltal a,

vilket uppenbarligen stämmer (dela upp i fall: om a>0 är a*a>0, om a=0 är a*a=0, och om a<0 är a*a>0), så R är reflexiv.

Du kontrollerar andra egenskaper (t.ex. symmetri, antisymmetri och transitivitet eller vad ni nu har gått igenom för egenskaper hos relationer) på motsvarande sätt.

Det börjar bli lite klarare nu med din beskrivning, men fortfarande ganska komplext i mitt huvud. Låt mig sammanfatta:

Relationen R är en delmängd av den kartesiska produkten ZxZ. Detta kan uttryckas med följande förkortning:
R = { (a,b) € ZxZ : ab>= 0 }, där a,b är talpar vars relation enbart är giltig inom villkoret (definitionsmängden) ab>=0

Detta innebär att kombinationerna av element måste bestå av parvis negativa eller parvis positiva tal. Dvs inga kombinationer av par där a är negativt och b är positivt (och vice versa) för då är inte relationen giltig med givet villkoret?

aRb = (a,b) € R är samma sak som att skriva: a,b är en delmängd R paret a,b. Dvs a,b är en delmängd av den kartesiska produkten ZxZ.

Det låter som du förstått det, men några kommenterar. Tänk på att a eller b kan vara noll, vad händer då?

Sedan skriver man inte att $aRb = (a, b) \in R$, att aRb är bara en förkortning av påståendet (a, b) € R, men de är inte lika med varandra.

Stokastisk skrev :

Det låter som du förstått det, men några kommenterar. Tänk på att a eller b kan vara noll, vad händer då?

Sedan skriver man inte att $aRb = (a, b) \in R$, att aRb är bara en förkortning av påståendet (a, b) € R, men de är inte lika med varandra.

Relationen är väl giltig om a eller b är noll, ty relationen är giltig då ab>=0? 

Tack för att du påpekade felskrivningen. Skall lägga det på minnet.

Efter din motivering så är jag med på att relationen är reflexiv. 

Jag vill även påstå att den är symmetrisk då ab >=0 är ekvivalent
med ba >= 0 för alla värden på a och b där relationen är giltig. Dvs alla kombinationer av a och b då de är positiva eller negativa båda två på samma gång.

Relationen är väl även transitiv om a, b och c är positiva heltal? I facit står det dock att den inte är transitiv, vilket jag inte begriper då relationen uppfyller villkoret om a, b och c är positiva samtidigt. Dvs ab≥0⇔ ba≥0 ⇔ac≥0 för alla positiva heltal

Bara så du inte ger mig kredd för oggihs förklaring, det var han som motiverade reflexiviteten.

Symmetrisk stämmer.

För transitivitet så ska det alltså gälla för alla a, b, c att om $ab \ge 0$ och $bc \ge 0$ så måste det även gälla att $ac \ge 0$.

Här är det alltså bra att tänka på att relationen gäller då någon är noll. Tänk på att noll vare sig är positivt eller negativt, så när du delar upp talen som positiva eller negativa så får du inte med nollan.

Stokastisk skrev :

Bara så du inte ger mig kredd för oggihs förklaring, det var han som motiverade reflexiviteten.

Symmetrisk stämmer.

För transitivitet så ska det alltså gälla för alla a, b, c att om $ab \ge 0$ och $bc \ge 0$ så måste det även gälla att $ac \ge 0$.

Här är det alltså bra att tänka på att relationen gäller då någon är noll. Tänk på att noll vare sig är positivt eller negativt, så när du delar upp talen som positiva eller negativa så får du inte med nollan.

Ojdå, det var inte meningen. 

Jag tror jag börjar förstå nu. Så om jag sätter både a och b till 0 och c till 1 så får jag ab = ba = 0 men ac = 1 som medför att relationen inte är transitiv?

Fast om du har att a = b = 0, c = 1 så gäller det ju att ab = 0 och bc = 0, alltså a ~ b och b ~ c. Men det gäller ju även att ac = 0, så då gäller det att a ~ c. Så detta är inget motbevis för att transitivteten inte gäller.

Utan låt a = 1, b = 0, c = -1, då gäller det att ab = bc = 0, så det gäller att a ~ b och b ~ c. Men det gäller ju att ac = -1 så det gäller inte att a ~ c. Så detta blir ett motexempel. Så transitiviteten gäller inte.

Hej!

En alternativ benämning av relationen R är: Mängden av icke-negativa rationella tal!

Ska man vara teknisk så är R isomorf med de icke-negativa rationella talen.

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

En alternativ benämning av relationen R är: Mängden av icke-negativa rationella tal!

Ska man vara teknisk så är R isomorf med de icke-negativa rationella talen.

Albiki

Intressant! :D Förklara gärna mer? Isomorf i vilken kategori (monoider?), och vilken funktion tänker du mer precist skulle fungera som isomorfism?

Stokastisk skrev :

Fast om du har att a = b = 0, c = 1 så gäller det ju att ab = 0 och bc = 0, alltså a ~ b och b ~ c. Men det gäller ju även att ac = 0, så då gäller det att a ~ c. Så detta är inget motbevis för att transitivteten inte gäller.

Utan låt a = 1, b = 0, c = -1, då gäller det att ab = bc = 0, så det gäller att a ~ b och b ~ c. Men det gäller ju att ac = -1 så det gäller inte att a ~ c. Så detta blir ett motexempel. Så transitiviteten gäller inte.

Just det ja! :) Nu hänger jag med. Stort tack för hjälpen till alla som har varit delaktiga