Avbildningsmatris för ortogonal projektion

Hejsan! Jag sitter fast på en uppgift som lyder

”Beräkna avbildningsmatrisen för ortogonal projektion på linjen genom origo med riktningsvektor (2,1,2)”

Jag är rätt nära på att få fram rätt avbildningsmatris men har lyckats få med minustecken och räknat fel någonstans på vägen. Ser någon var jag har gjort fel och vad jag har gjort? Tack på förhand!

Jag förstår inte varför du har tagit fram ett plan?

Projektionen av vektorn $\mathbf{u}$ på $\mathbf{v}=(2,1,2)$ är

$T(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{||\mathbf{v}||^2}\mathbf{v}$

Om vi istället normaliserar vektorn $\hat{v}=\frac{1}{3}(2,1,2)$ blir uttrycket ännu enklare:

$T(\mathbf{u})=(\mathbf{u}\cdot \hat{v}) \hat{v}$

Nu ges kolonnerna i matrisen för $T$ av $T(e_1), \dots, T(e_3)$

Man kan också notera att $u^T\hat{v}\hat{v}=\hat{v}\hat{v}^Tu$ varför matrisen för projektionen är den yttre produkten $\hat{v}\hat{v}^T$

Svara