Avbildning

Hej

jag skulle behöva hjälp med att besvara följande uppgift:

Avbildningen $R : R^{2} \Rightarrow R^{2}$ motsvarar rotationen moturs kring origon med vinkeln pi/4, som får antagas vara en matristransformation dvs det existerar en matris $A \in M a t (2, 2)$ sådant att $R = T_{A}$ med andra ord $A = |R|$

a) Bestäm $R_{e 1}, R_{e 2}$ där E= $(e_{1}, e_{2})$ är standardbasen för $R^{2}$ och ange matrisen A

b) Avgör om R är injektiv, surjektiv och/eller bijektiv.

c) Bestäm standardmatriserna av kompositionerna $R \circ R o c h R \circ R \circ R \circ R$ dvs $|R \circ R|$ och $|R \circ R \circ R \circ R|$

d) Bestäm R(u) där u= $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

e) Bestäm alla vektorer $x \in R^{2}$ som uppfyller R(R(x))=x

Om man börjar med a uppgiften så standardbasen för $R^{2} = |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|$

och vi har vinkeln pi/4 vilket motsvarar $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Så ska man då sätta $\frac{\sqrt{2}}{2} \times |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|$

Det blir väldigt förvirrande när du har samma tecken för reella talen som för din avbildning.

Rita upp detta, om du har punkten $(1, 0)$ i planet och roterar den moturs runt origo med vinklen $\pi/4$ . Var hamnar den då?

Samma fråga för punkten $(0, 1)$ .

då får jag $\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}$ för den första och $- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}$ för den andra eller pi/4 resp 3pi/4

Hur ser alltså matrisen ut?

$|\begin{matrix} \sqrt{2} / 2 & \sqrt{2} / 2 \\ - \sqrt{2} / 2 & \sqrt{2} / 2 \end{matrix}|$ men jag ser i facit att det ska bli $\frac{1}{\sqrt{2}} |\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}|$ så jag tror att jag är på rätt väg men inte riktigt framme.

Du kan bryta ut konstanten $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Ser ut som att du har blandat ihop $x, y$ -koordinaterna efter Smaragdalenas förenkling bara,

kom ihåg att i $x y$ -planet gäller:

${\vec{e}}_{1} = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ , så var hamnar $x, y$ -koordinaterna när du roterar $π / 4$ moturs?

okej, då är jag med på a uppgiften.

men jag är inte med på hur man ska veta om den är injektiv,surjektiv,eller bijektiv.

Sedan när det gäller c uppgiften när man ska beräkna $R \circ R$ ska man då sätta $\frac{1}{\sqrt{2}} |\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}| \times \frac{1}{\sqrt{2}} |\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}|$

Matrisen för kompositionen $R \circ R$ ges av $A \cdot A$ , japp!

För att kolla om $R$ är injektiv så kan du beräkna determinanten och se om denna är nollskild eller ej, är den injektiv så betyder detta också att den är surjektiv.

jag är inte riktigt med på sista uppgiften, där har dem satt $R ((x)) - x = |R| * |R| * x = x \Rightarrow A^{2} x = x$ men jag är inte riktigt med på varför man ska gå från R till A

$R$ är bara beteckningen på din funktion, $R : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ .

Din avbildningsmatris $A$ är den matris som tar en vektor och transformerar den, alltså det som utgör själva funktionen!

Så det gäller att $R (\vec{x}) = A \vec{x}$ och därför blir $R \circ R (\vec{x}) = R (R (\vec{x})) = A \cdot A \vec{x} = A^{2} \vec{x}$

Du söker alltså alla de $\vec{x}$ så att $A^{2} \vec{x} = \vec{x}$

Edit: av frågan att döma verkar det som att avbildningsmatrisen betecknas både $|R|$ och $A$ , eller blandar du möjligtvis ihop beteckningen för sammansatta funktioner $R \circ R$ med gångertecknet $R \cdot R$ ?

Svara

Visa senaste svar