avbildning

Hej!

Nä, du får inte anta att $A$ är identitetsmatrisen. Här är $A$ ett element i mängden $M_2\left(\mathbb{R}\right)$, dvs. en $2\times 2$ matris med reella tal. 

Börja med att visa att avbildningen $T$ är linjär, dvs. $T\left(\lambda A + C\right)=\lambda T\left(A\right)+T\left(C\right)$ där $A\in M_2\left(\mathbb{R}\right)$, $C\in M_2\left(\mathbb{R}\right)$ och $\lambda\in\mathbb{R}$.

Moffen skrev:

Hej!

Nä, du får inte anta att $A$ är identitetsmatrisen. Här är $A$ ett element i mängden $M_2\left(\mathbb{R}\right)$, dvs. en $2\times 2$ matris med reella tal. 

Börja med att visa att avbildningen $T$ är linjär, dvs. $T\left(\lambda A + C\right)=\lambda T\left(A\right)+T\left(C\right)$ där $A\in M_2\left(\mathbb{R}\right)$, $C\in M_2\left(\mathbb{R}\right)$ och $\lambda\in\mathbb{R}$.

är detta rätt?

Nja, du har bara försökt att utveckla högerledet, dvs $\lambda$T(A) + T(C). 

Du måste visa att likheten T($\lambda$A + C) = $\lambda$T(A) + T(C) gäller.

Du behöver inte sätta in några specifika värden på matriserna för att göra detta, utan det går bra att visa med generell matrisalgebra. Det är dock bra att känna till att spåret, tr, definierar en linjär avbildning från M₂(R) till R. Men visa att så är fallet om detta är något som du inte känner till sedan tidigare.

Du kan börja med att utnyttja att B^T($\lambda$A + C) = $\lambda$B^TA + B^TC enligt reglerna för matrismultiplikation. 

blir det så? $T(\lambda A+C)=tr\left(B^T\right(\lambda A+C\left)B\right)=tr(\lambda B^{T}A+B^{T}C)B$

Vad ska jag sätta A och C som?

Du behöver inte sätta in några värden i matriserna. Utnyttja det jag sa om tr. Dvs spåret är linjärt.

tr(D₁ + D₂) = tr(D₁) + tr(D₂)

tr(cD) = ctr(D).

Det som blir kvar av spåret är en konstant, f. Då får vi en konstant gånger B, vilket resulterar till  en 2x2-matris

Alltså

Det går inte att se din bild.

Jag tänkte bara att språret ger alltid en konstant då man summerar matrisens diagonalelement.

$$\begin{gathered} tr(\lambda B^{T}A+B^{T}C)B=\left(tr\right(\lambda B^{T}A)+tr(B^{T}C\left)\right)B=\left(\lambda tr\right(B^{T}A)+tr(B^{T}C\left)\right)B= \\ (\lambda \times f+k)B \\ där f=tr\left(B^{T}A\right) (blir en konsa\tan t) \\ k =\hspace{0.17em}tr\left(B^{T}C\right) (en kons\tan t) \end{gathered}$$

Precis, sedan får du mha räkneregler för matriser

($\lambda$f + k)B = $\lambda$fB + kB.

Sätt sedan in vad f och k var och utnyttja definitionen av avbildningen T så är du i hamn.

PATENTERAMERA skrev:

Precis, sedan får du mha räkneregler för matriser

($\lambda$f + k)B = $\lambda$fB + kB.

Sätt sedan in vad f och k var och utnyttja definitionen av avbildningen T så är du i hamn.

oke tack! hur ska jag göra när det kommer till uppgift b och c? För att hitta nollrummet måste vi lösa ekvationssystemet Ax = 0.  Men hur gör jag i det här fallet när jag inte vet vad A ör?

Har du löst b)?

nej jag vet inte hur jag ska lösa b

Alla element i R(T) är på formen sB, där s = skalär = tr(B^TA).

Om vi kan få s att anta vilket värde som helst genom att välja en lämplig matris A så måste R(T) = span(B) = {sB: s tillhör R}.

Om s = 0 för alla A så är R(T) = {0}. 0 = nollmatrisen i M₂(R).

Är s = 0 for alla A? Kan vi få s till vad som helst genom lämpligt val av A?

PATENTERAMERA skrev:

Alla element i R(T) är på formen sB, där s = skalär = tr(B^TA).

Om vi kan få s att anta vilket värde som helst genom att välja en lämplig matris A så måste R(T) = span(B) = {sB: s tillhör R}.

Om s = 0 för alla A så är R(T) = {0}. 0 = nollmatrisen i M₂(R).

Är s = 0 for alla A? Kan vi få s till vad som helst genom lämpligt val av A?

Jag förstår inte riktigt det du har skrivit :/

Ta det från början. Var tar det stopp först?

ska man inte testa vektorer som $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right) och \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$för att kolla om de är linjärt oberoende?

Det enklaste är kanske att ansätta A = $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ rent allmänt och sedan räkna ut vad s = tr(B^TA) blir. Det är enkelt att inse att du kan välja a, b, c och d så att s kan bli vilket värde som helst.

På c) kan du sedan inse att T(A) = 0 om och endast om tr(B^TA) = 0. Du kan utnyttja vad du gjorde ovan för att bestämma villkor på a, b, c och d så att detta gäller.

okej tack

försöka

jag fick s= a+2c-d. som du redan sagt kan man välja vilka värden som helst på a,b,c och d. o detta kunde vi redan se då s är en skalär. Men hur kan jag hitta R(T)? vilka är de linjära oberoende vektorerna?

jag får $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right), \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& -2\end{array}\right) och \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$men dessa är väll linjärt beroende?

är bildrummet 3 och är första, tredje och fjärde matris.

och nollrummet 1 som är andra matrisen?

Du får alla matriser som kan skrivas som sB, för godtyckligt värde på s. Detta eftersom vi kan välja ett A så att vi får vilket värde som helst på tr(B^TA).

Vi kan säga att bildrummet, R(T), består av alla matriser på formen $\left[\begin{array}{cc}t& 0\\ 2t& -t\end{array}\right]$, där t är en godtycklig skalär. Alternativt, kan vi uttrycka detta som att bildrummet är det linjära spannet av B. R(T) = span(B), vilket är ett endimensionellt delrum till M₂(R). Det var svaret på b).

På c) så insåg vi att nollrummet till T består av alla matriser A sådana att tr(B^TA) = 0. Du hade tagit fram ett uttryck för tr(B^TA). Vad krävs för att det skall bli noll?

jag kom fram till att s= a+2c-d.

Då måste jag hitta är s=0 som är då a+2c-d=0

a=-2c+d

c=(d-a)/2

d=a+2c

så nollrummet är då $\left(\begin{array}{cc}-2c+d& 0\\ (d-a)/2& a+2c\end{array}\right)$?

Nja, det räcker om du uttrycker en variabel i de andra. Tex kan vi skriva a = d - 2c. Om vi väljer d och c godtyckligt och a enligt denna formel så blir tr(B^TA) alltid noll. 

Så vi får

A = $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ = (a = d - 2c) = $\left[\begin{array}{cc}d-2c& b\\ c& d\end{array}\right]$, där b, c och d kan väljas godtyckligt. Notera att

$\left[\begin{array}{cc}d-2c& b\\ c& d\end{array}\right]$ = b$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$ + c$\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$ + d$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$, vilket ger oss tre matriser som utgör en bas för N(T).

okej tack så mycket för hjälpen!