Avbildning

Hej

jag sitter med denna uppgift och har lite problem med att förstå hur man ska resonera sig fram till svaret.

Avgör om följande funktioner är injektiva, surjektiva eller bijektiva:

a) f: $ℝ \to ℝ, f (x) = \cos x$

b) $ℝ \to [- 1, 1], f (x) = \cos x$

c) $f : [o, π] \to ℝ, f (x) = \cos x$

d) $f : [0, π] \to [- 1, 1], f (x) = \cos x$

Tittar man på a uppgiften så står det att den varken är injektiv,surjektiv eller bijektiv, vi har ju att elementen i R mappas till elementen i R så det finns ju lika många element.

En funktion är injektiv om alla element i domänen mappas till olika element i målmängden. Det stämmer inte för a) eftersom $\cos(0) = \cos(2\pi) = 1$ , de mappas alltså till samma element.

En funktion är surjektiv om målmängden är samma som målmängden. Det stämmer inte i a) eftersom det finns inget $x \in \mathbb{R}$ sådant att $\cos(x) = 2$ exempelvis.

En funktion är bijektiv om den både är injektiv och surjektiv. Så a) är alltså inte bijektiv.

okej jag förstår när en funktion är injektiv eller inte men har fortfarande problem att avgöra om den är surjektiv. Hur ska man se att b är surjektiv men inte c?

Den är surjektiv om målmängden är lika med värdemängden.

b) Här är målmängden [-1, 1] och värdemängden är ju alla tal som $\cos(x)$ kan anta, dvs [-1, 1], så här är värdemängden lika med målmängden och därför är den surjektiv.

c) Här är målmängden $\mathbb{R}$ medan värdemängden är [-1, 1] så här är inte värdemängden lika med målmängden. Därför är den inte surjektiv.

Svara

Visa senaste svar