Avbildning

Hej!

För att lösa uppgiften måste du veta hur urbilden $g^{-1}(Y)$ (och motsvarande för $f$) är definierad. När du väl vet det så följer det trivialt att urbilden är tom (sinus-funktionens värdemängd är ju intervallet [-1,1]). 

Albiki

Har du försökt beräkna inversen till f? Är du med på hur problemet ser ut rent geometriskt?

Hej igen!

Med anledning av Stokastisks inlägg: Tänk på att urbild och invers inte alltid är samma sak. En avbildning har alltid en urbild, men inte alltid en invers.

Albiki

tyvärr har jag lite problem med att beräkna urbilden.

Som jag förstår definieras urbilden genom f av en mängd $Y\in B$ som delmängden $f^{-1}\left(Y\right)=\left(a\in A|f(a)\in Y\right)$ av A, men jag är inte riktigt med på hur man praktiskt ska beräkna den i denna uppgift.

ja att avbildning inte alltid har en invers är jag med på.

I första exemplet när du ska beräkna f(X) så ser situationen ut så här

Då har fått givet den röda mängden och vill veta vilka värden funktionen f(x) = 2x + 1 antar på den mängden, det kommer vara den blå mängden som utgör dessa värden.

Om vi istället ska gå åt andra hållet, så vi beräknar $f^{-1}(Y)$ så ser det ut så här

Nu har du alltså fått given den blå mängden och vill veta vilka värden som kommer mappas in i denna mängd av f. Detta kommer alltså att vara den röda mängden på x axeln, ser du hur du kan beräkna den röda mängden, dvs $f^{-1}(Y)$?

Jocke011 skrev :

tyvärr har jag lite problem med att beräkna urbilden.

Som jag förstår definieras urbilden genom f av en mängd $Y\in B$ som delmängden $f^{-1}\left(Y\right)=\left(a\in A|f(a)\in Y\right)$ av A, men jag är inte riktigt med på hur man praktiskt ska beräkna den i denna uppgift.

ja att avbildning inte alltid har en invers är jag med på.

Hej!

Det stämmer att urbilden av en avbildning $f : X \to Y$ definieras så som du skriver.  Urbilden av mängden $Y$ är då lika med mängden $X$, 

    $f^{-1}(Y) = \{x \in X : f(x) \in Y\} = X\ ,$

eftersom oavsett vilket $x \in X$ du än väljer så vet du att $f(x)$ kommer att vara ett element i mängden $Y$ helt säkert. 

Om $M$ är en mängd som är disjunkt med bildmängden $f(X)$ (den är alltså en delmängd av komplementmängden ($f(X)^c$) till $f(X)$) så är dess urbild lika med tomma mängden

    $f^{-1}(M) = \{x \in X : f(x) \in M\} \subset \{x \in X : f(x) \notin f(X)\} = \emptyset\ ,$

eftersom om du vet att $f(x)$ ligger i $M$ så vet du att $f(x)$ ligger i $f(X)^{c}$, men detta är omöjligt eftersom om $x \in X$ så vet du att $f(x) \in f(X)$ helt säkert.

Notera att detta resonemang gäller för alla tänkbara avbildningar $f : X \to Y$; speciellt gäller det för avbildningen $f(x) = 2x+1$ och $g(x) = \sin x$, där $X = \mathbf{R}$ och $Y = \mathbf{R}$ och $M = [2,3].$

Albiki

Hej!

För den linjära avbildningen $f(x) = 2x+1$ från $X = \mathbf{R}$ till $Y = \mathbf{R}$ kan vi säga litet mer.

Om $b \in Y$ är ett godtyckligt tal så är dess urbild lika med ett enda tal från definitionsmängden $X.$

    $f^{-1}(\{b\}) = \{x\in X : f(x) = b\} = \{x \in X : x = \frac{b-1}{2}\} = \{\frac{b-1}{2}\}.$

Detta visar att $f$ är en injektiv avbildning och att den därför har en invers avbildning, som sammanfaller med urbilden.

Avbildningen är även surjektiv, $f(X) = Y$, eftersom oavsett vilket $b \in Y$ vi än väljer så går det att finna ett motsvarande $a \in X$ så att $b = f(a)$; välj elementet Error converting from LaTeX to MathMLX$(eftersom$X = \mathbf{R}$$).

Detta visar att avbildningen $f$ är bijektiv. 

Albiki

Hej!

Välj elementet $a = \frac{b-1}{2}$ som ligger i mängden $X$, eftersom $X = \mathbf{R}.$

Albiki