8 svar
133 visningar
Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 31 aug 2017 21:02

Avbildning

Hej

jag har fastnat på följande exempel och vet inte riktigt hur dom kommer fram till svaren:

Låt f(x)=2x+1 och g(x)=sinx vara funktionerna från R till R. Antag att X=0,2 och Y=2,3

Då gäller att fX= 1,5 och gX=0,1 medans f-1y=12,1 och g-1Y=

 

att vi får f(x)=(1,5) är ju bara att sätta in värdena för x i 2x+1 men jag förstår inte riktigt hur man ska göra med inversen får att få fram de värdena

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 31 aug 2017 21:10

Hej!

För att lösa uppgiften måste du veta hur urbilden g-1(Y) g^{-1}(Y) (och motsvarande för f f ) är definierad. När du väl vet det så följer det trivialt att urbilden är tom (sinus-funktionens värdemängd är ju intervallet [-1,1]). 

Albiki

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 31 aug 2017 21:11

Har du försökt beräkna inversen till f? Är du med på hur problemet ser ut rent geometriskt?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 31 aug 2017 21:15

Hej igen!

Med anledning av Stokastisks inlägg: Tänk på att urbild och invers inte alltid är samma sak. En avbildning har alltid en urbild, men inte alltid en invers.

Albiki

Jocke011 276 – Fd. Medlem
Postad: 1 sep 2017 11:40

tyvärr har jag lite problem med att beräkna urbilden.

Som jag förstår definieras urbilden genom f av en mängd YB som delmängden f-1(Y)=aA| f(a)Y av A, men jag är inte riktigt med på hur man praktiskt ska beräkna den i denna uppgift.

ja att avbildning inte alltid har en invers är jag med på.

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 1 sep 2017 11:56

I första exemplet när du ska beräkna f(X) så ser situationen ut så här

Då har fått givet den röda mängden och vill veta vilka värden funktionen f(x) = 2x + 1 antar på den mängden, det kommer vara den blå mängden som utgör dessa värden.

Om vi istället ska gå åt andra hållet, så vi beräknar f-1(Y) f^{-1}(Y) så ser det ut så här

Nu har du alltså fått given den blå mängden och vill veta vilka värden som kommer mappas in i denna mängd av f. Detta kommer alltså att vara den röda mängden på x axeln, ser du hur du kan beräkna den röda mängden, dvs f-1(Y) f^{-1}(Y) ?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 1 sep 2017 14:03
Jocke011 skrev :

tyvärr har jag lite problem med att beräkna urbilden.

Som jag förstår definieras urbilden genom f av en mängd YB som delmängden f-1(Y)=aA| f(a)Y av A, men jag är inte riktigt med på hur man praktiskt ska beräkna den i denna uppgift.

ja att avbildning inte alltid har en invers är jag med på.

Hej!

Det stämmer att urbilden av en avbildning f:XY f : X \to Y definieras så som du skriver.  Urbilden av mängden Y Y är då lika med mängden X X

    f-1(Y)={xX:f(x)Y}=X , f^{-1}(Y) = \{x \in X : f(x) \in Y\} = X\ ,

eftersom oavsett vilket xX x \in X du än väljer så vet du att f(x) f(x) kommer att vara ett element i mängden Y Y helt säkert. 

Om M M är en mängd som är disjunkt med bildmängden f(X) f(X) (den är alltså en delmängd av komplementmängden ( f(X)c f(X)^c ) till f(X) f(X) ) så är dess urbild lika med tomma mängden

    f-1(M)={xX:f(x)M}{xX:f(x)f(X)}= , f^{-1}(M) = \{x \in X : f(x) \in M\} \subset \{x \in X : f(x) \notin f(X)\} = \emptyset\ ,

eftersom om du vet att f(x) f(x) ligger i M M så vet du att f(x) f(x) ligger i f(X)c f(X)^{c} , men detta är omöjligt eftersom om xX x \in X så vet du att f(x)f(X) f(x) \in f(X) helt säkert.

Notera att detta resonemang gäller för alla tänkbara avbildningar f:XY f : X \to Y ; speciellt gäller det för avbildningen f(x)=2x+1 f(x) = 2x+1 och g(x)=sinx g(x) = \sin x , där X=R X = \mathbf{R} och Y=R Y = \mathbf{R} och M=[2,3]. M = [2,3].

Albiki

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 1 sep 2017 14:20

Hej!

För den linjära avbildningen f(x)=2x+1 f(x) = 2x+1 från X=R X = \mathbf{R} till Y=R Y = \mathbf{R} kan vi säga litet mer.

Om bY b \in Y är ett godtyckligt tal så är dess urbild lika med ett enda tal från definitionsmängden X. X.

    f-1({b})={xX:f(x)=b}={xX:x=b-12}={b-12}. f^{-1}(\{b\}) = \{x\in X : f(x) = b\} = \{x \in X : x = \frac{b-1}{2}\} = \{\frac{b-1}{2}\}.

Detta visar att f f är en injektiv avbildning och att den därför har en invers avbildning, som sammanfaller med urbilden.

Avbildningen är även surjektiv, f(X)=Y f(X) = Y , eftersom oavsett vilket bY b \in Y vi än väljer så går det att finna ett motsvarande aX a \in X så att b=f(a) b = f(a) ; välj elementet Error converting from LaTeX to MathMLX (eftersom (eftersom X = \mathbf{R}$$).

Detta visar att avbildningen f f är bijektiv. 

Albiki

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 1 sep 2017 14:21

Hej!

Välj elementet a=b-12 a = \frac{b-1}{2} som ligger i mängden X X , eftersom X=R. X = \mathbf{R}.

Albiki

Svara
Close