Avbildning
Hej
jag har fastnat på följande exempel och vet inte riktigt hur dom kommer fram till svaren:
Låt f(x)=2x+1 och g(x)=sinx vara funktionerna från R till R. Antag att och
Då gäller att och medans och
att vi får f(x)=(1,5) är ju bara att sätta in värdena för x i 2x+1 men jag förstår inte riktigt hur man ska göra med inversen får att få fram de värdena
Hej!
För att lösa uppgiften måste du veta hur urbilden (och motsvarande för ) är definierad. När du väl vet det så följer det trivialt att urbilden är tom (sinus-funktionens värdemängd är ju intervallet [-1,1]).
Albiki
Har du försökt beräkna inversen till f? Är du med på hur problemet ser ut rent geometriskt?
Hej igen!
Med anledning av Stokastisks inlägg: Tänk på att urbild och invers inte alltid är samma sak. En avbildning har alltid en urbild, men inte alltid en invers.
Albiki
tyvärr har jag lite problem med att beräkna urbilden.
Som jag förstår definieras urbilden genom f av en mängd som delmängden av A, men jag är inte riktigt med på hur man praktiskt ska beräkna den i denna uppgift.
ja att avbildning inte alltid har en invers är jag med på.
I första exemplet när du ska beräkna f(X) så ser situationen ut så här
Då har fått givet den röda mängden och vill veta vilka värden funktionen f(x) = 2x + 1 antar på den mängden, det kommer vara den blå mängden som utgör dessa värden.
Om vi istället ska gå åt andra hållet, så vi beräknar så ser det ut så här
Nu har du alltså fått given den blå mängden och vill veta vilka värden som kommer mappas in i denna mängd av f. Detta kommer alltså att vara den röda mängden på x axeln, ser du hur du kan beräkna den röda mängden, dvs ?
Jocke011 skrev :tyvärr har jag lite problem med att beräkna urbilden.
Som jag förstår definieras urbilden genom f av en mängd som delmängden av A, men jag är inte riktigt med på hur man praktiskt ska beräkna den i denna uppgift.
ja att avbildning inte alltid har en invers är jag med på.
Hej!
Det stämmer att urbilden av en avbildning definieras så som du skriver. Urbilden av mängden är då lika med mängden ,
eftersom oavsett vilket du än väljer så vet du att kommer att vara ett element i mängden helt säkert.
Om är en mängd som är disjunkt med bildmängden (den är alltså en delmängd av komplementmängden () till ) så är dess urbild lika med tomma mängden
eftersom om du vet att ligger i så vet du att ligger i , men detta är omöjligt eftersom om så vet du att helt säkert.
Notera att detta resonemang gäller för alla tänkbara avbildningar ; speciellt gäller det för avbildningen och , där och och
Albiki
Hej!
För den linjära avbildningen från till kan vi säga litet mer.
Om är ett godtyckligt tal så är dess urbild lika med ett enda tal från definitionsmängden
Detta visar att är en injektiv avbildning och att den därför har en invers avbildning, som sammanfaller med urbilden.
Avbildningen är även surjektiv, , eftersom oavsett vilket vi än väljer så går det att finna ett motsvarande så att ; välj elementet Error converting from LaTeX to MathMLXX = \mathbf{R}$$).
Detta visar att avbildningen är bijektiv.
Albiki
Hej!
Välj elementet som ligger i mängden , eftersom
Albiki