Avancerad fråga!

Frågan: Kurvan y = 2x - x^2 innesluter tillsammans med x-axeln ett område. Se figur. Beräkna triangelns maximala area. Svara exakt.

Har jag svarat frågan rätt. Undrar om mitt svar är på A-nivå och ifall jag har rätt svar. Behöver jag göra något mer?

För att hitta den maximala arean av triangeln som omges av kurvan y = 2x - x^2 och x-axeln måste jag ställa in och lösa ett optimeringsproblem

A= 1/2 gånger bas gånger höjd

I det här fallet är triangelns bas längs x-axeln, och höjden är y-koordinaten för kurvan y = 2x - x^2

Uttryck för område A:

A(x) = 1/2 gånger bas gånger höjd

= 1/2 gånger x gånger (2x - x^2) = x(2x - x^2) = 2x^2 - x^3

Jag måste hitta derivatan av A med avseende på x:

A′(x) = d/dx (2x^2 - x^3) = 4x -3x^2

Sätt A′(x) lika med noll och i löser kritiska punkter:

4x - 3x^2= 0

Denna ekvation har två lösningar: x = 0 och x = 4/3

Det finns två kritiska punkter: x = 0 och x = 4/3

För att avgöra vilken som motsvarar den maximala arean använder jag det andra derivattestet.

Jag beräknar andraderivatan av A(x):

A′′ (x) = d^2/dx^2 (2x^2 - x^3) = d/dx (4x -3x^2) = 4 - 6x

Jag utvärderar A′′ (0):

A′′(0) = 4 - 6(0) = 4

Jag evaluerar A′′(4/3):

A′′ (4/3) = 4 - 6 (4/3) = -4

Jag tillämpar det andra derivattestet:

A′′ (0) = 4 är positivt, så vid x = 0 finns det ett lokalt minimum

A′′ (4/3) = -4 är negativ, så vid x= 4/3 finns det ett lokalt maximum.

Maximum inträffar vid x = 4/3

Nu hittar jag motsvarande y-koordinat (höjd) med den ursprungliga ekvationen y = 2x - x^2:

y = 2(4/3) - (4/3)^2 = 8/3 - 16/9 = 24/9 - 16/9 = 8/9

Så den maximala arean av triangeln som omges av kurvan y = 2x - x^2 och x-axeln är

Getts av:

A max = 1/2 gånger (4/3) gånger (8/9) = 16/27

Den erforderliga maximala arean av triangeln som omges av kurvan y = 2x - x^2 och x-axeln är 16/27 kvadrat enheter.