Avancerad fråga!

Frågan: En andragradsfunktion f(x) = ax^2 + bx + c, där a > 0, har två nollställen, varav det ena är x = u. Dessutom vet man att derivatans nollställe är x = v. Skriv ett uttryck för arean hos den triangel som har sina hörn i de punkter där grafen skär x-axeln samt i funktionens minimipunkt. Uttrycket får innehålla a, b, c, u och v.
 
 Har är min lösning, undrar om jag har löst frågan på A-nivå? Behöver jag lägga till något mer ifall mitt svar stämmer?
 
Vi vet att f(x) har två nollställen och att den ena är x = u. Låt det andra nollstället varav x = w. Då kan vi skriva f(x) som: 

f(x) = a(x - u) (x - w) 

Expanderar vi detta får vi: 

f(x) = ax^2 - a(u + w) x + auw

Jämför detta med f(x) = ax^2 + bx + c sår får jag 

b = -a(u + w)

c = auw 

Därmed är w = -b/a - u

Jag måste hitta y-koordinaten för funktionens minimipunkt.

Derivatan av f(x) är:

f′(x) = 2ax + b

Jag vet att f′(v) = 0 eftersom x = v är derivatans nollställe så: 

2av + b = 0 

v = -b/2a

För att hitta y-koordinaten för minimipunkten sätter jag in v i f(x): 

f(v) = a(v^2) + bv + c

Jag använder dessa punkter för att hitta arean av triangeln.

Triangelns bas är avståndet mellan de två nollställena, vilket är w - u. Höjden är avståndet från x-axeln till minimipunkten, vilket är f(v).

Arean A av triangeln ges av:

A = ½ gånger (w - u) gånger f (v)

Jag sätter in w och f(v) för att få ett uttryck i termer av a, b, c, u och v

A= ½ gånger (-b/a - u - u) gånger (a (-b/2a)^2 + b (-b/2a) + c) 

Detta blir sökta uttrycket för arean av triangeln.