Avancerad fråga!

Frågan: En termos fylls med hett kaffe och placeras direkt utomhus där temperaturen ligger kring noll grader. Temperaturen på kaffet avtar exponentiellt med tiden. Efter 4 timmar är temperaturen 76 °C och vid samma tidpunkt minskar temperaturen med hastigheten 4,1 °C per timme.

a) Vilken var temperaturen på kaffet då det hälldes i termosen?

b) Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55 °C. Hur lång tid efter att man hällt kaffet i termosen är det fortfarande drickbart?

Undrar om jag har svarat frågan på A-nivå?

a) Temperaturen T(t) av kaffet vid tid t kan beskrivas med en exponentiell avkylning enligt Newtons avkylninglag: 

T(t) = Ta + (T0 - Ta) gånger e^-kt

där: 

T(t) är temperaturen vid tid t

T0 är den ursprungliga temperaturen (det vi vill hitta i del a)

Ta är omgivningstemperaturen (i detta fall 0°C eftersom det är utomhus) 

k är en konstant som beskriver avkylningstakten 

e är basen för den naturliga logaritmen

T(4) = 76°C (temperaturen efter 4 timmar)

T′ (4) = -4.1 °C/timme (förändringshastigheten av temperaturen efter 4 timmar)

Från den första ekvationen, när t = 4:

76 = 0 + (T0 - 0) gånger e^-4k

76= T0 gånger e^-4k

76/T0 = e^-4k … (i)

T′(t) = -k (T0 - Ta) gånger e^-kt

När t = 4:

-4.1 = -kT0 gånger e^-4k
4.1/T0 = k gånger e^-4k …(ii)

Vi kan nu lösa ekvationssystemet (i) och (ii) för att hitta T0 och K.

Från lösningen av ekvationssystemet får vi: 

T0 ≈ 94.30°C

k ≈ 0.05395

Temperaturen på kaffet då det hälldes i termosen var ungefär 94.30°C

b) För att kaffet ska anses drickbart måste T(t) ≥ 55°C. Jag sätter upp följande ekvation:

55= 0 + (94.30) gånger e^-0.05395t

Låt oss lösa denna ekvation för t för att bestämma hur länge kaffet är drickbart. 

Från lösningen av ekvationen får vi:

t ≈ 9.99 timmar eller nästan 10 timmar.