Autonom ODE
Hur löser man detta?
Jag fattar att man gör såhär dydt=9y3-y5 => 9y3-y5=0 => y=0 och y=±3. Och då kan man göra en teckentabell genom att sätta in olika värden i derivatan som ligger mellan nollställena. Men det jag inte förstår är hur jag ska räkna ut gränsvärdet på detta när x→∞. Vart kommer ens x in någonstans när det inte ens finns med...
x finns med. Det står ju att lösningen är y(x). y' betyder alltså dy/dx.
Du kanske ska lösa ekvationen algebraiskt, det borde gå.
Mhm, okej! Ska jag då ta fram primitiva funktionen mha villkoret vilket blir y(x)=9y24+y66+4 för att sen sätta in det som limx→∞y(x)? Men det blir ju fel...
Nej, man kan inte integrera y-uttryck på samma sätt som x-uttryck.
Ekvationen kan man skriva om till dy/(9y3-y5) = dx.
Man kan också konstatera att om y konvergerar mot något när x växer så måste y' gå mot 0, och då får man möjliga värden på vad y går mot, som du redan har räknat ut. Men vilket av värdena som stämmer eller om y konvergerar alls vet jag inte.
Okej... hur går man tillväga då för att lösa detta?
Kan du partialbråksutveckla vänsterledet?
okej, så ∫19y3-y5dy
19y3-y5=1y3(9-y2)=Ay3+B9-y2⇔1y3(9-y2)=A(9-y2)+By3y3(9-y2)
{A+B=09A+0B=1⇔{A+B=0A=19⇔{A=19B=-19
∫19y3-y5dy
Typ så?
Kanske, men hur blev nämnarna till täljare i integralen?
Om partialbråksutvecklingen stämmer så blir det så efter insättning av A och B 😅
Nej.