Autonom ODE

Jag fattar att man gör såhär $\frac{dy}{dt}=9y^3-y^5$ => $9y^3-y^5=0$ => y=0 och y=±3. Och då kan man göra en teckentabell genom att sätta in olika värden i derivatan som ligger mellan nollställena. Men det jag inte förstår är hur jag ska räkna ut gränsvärdet på detta när $x\to \infty$.  Vart kommer ens x in någonstans när det inte ens finns med...

x finns med. Det står ju att lösningen är y(x). y' betyder alltså dy/dx.

Du kanske ska lösa ekvationen algebraiskt, det borde gå.

Mhm, okej! Ska jag då ta fram primitiva funktionen mha villkoret vilket blir $y\left(x\right)=\frac{9y^2}{4}+\frac{y^6}{6}+4$ för att sen sätta in det som $\underset{x\to \infty }{\lim }y\left(x\right)$? Men det blir ju fel...

Nej, man kan inte integrera y-uttryck på samma sätt som x-uttryck.

Ekvationen kan man skriva om till dy/(9y³-y⁵) = dx.

Man kan också konstatera att om y konvergerar mot något när x växer så måste y' gå mot 0, och då får man möjliga värden på vad y går mot, som du redan har räknat ut. Men vilket av värdena som stämmer eller om y konvergerar alls vet jag inte.

Okej... hur går man tillväga då för att lösa detta? 

Kan du partialbråksutveckla vänsterledet?

okej, så $\int \frac{1}{9y^3-y^5}dy$ 

$\frac{1}{9y^3-y^5}=\frac{1}{y^3(9-y^2)}=\frac{A}{y^3}+\frac{B}{9-y^2}\iff \frac{1}{y^3(9-y^2)}=\frac{A(9-y^2)+B{y}^3}{y^3(9-y^2)}$ 

$\left\{\begin{array}{l}A+B=0\\ 9A+0B=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}A+B=0\\ A=\frac{1}{9}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{9}\\ B=-\frac{1}{9}\end{array}\right.\right.$ 

$\int \frac{1}{9y^3-y^5}dy =\int \frac{y^3}{9}-\frac{9-y^2}{9}dy$

Typ så?

Kanske, men hur blev nämnarna till täljare i integralen?

Om partialbråksutvecklingen stämmer så blir det så efter insättning av A och B 😅

Nej.