Autocovarinace härledning

Hej,

Hänger inte riktigt med på härledningen:

$K_{X} (t, s) = C o v [X (t), X (s)] = E [((X (t) - μ_{X} (t)) (X (s) - μ_{X} (s))] = R_{X} (t, s) - μ_{X} (s) μ_{X} (t), d ä r R_{X} (t, s) = E [X (t) X (s)]$

Jag tänker att:

$E [((X (t) - μ_{X} (t)) (X (s) - μ_{X} (s))] = E [X (t) X (s) - μ_{X} (s) X (t) - μ_{X} (t) X (s) - μ_{X} (t) μ_{X} (s)]$

= $R_{X} (t, s) - μ_{X} (t) μ_{X} (s) - E [μ_{X} (t) X (s) + μ_{X} (s) X (t)]$

Här är uppenbarligen: $E [μ_{X} (t) X (s) + μ_{X} (s) X (t)] = 0$ , men varför är det så?

Vi har ju att $μ_{X} (s)$ är slumpvariabeln X medelvärde vid tidpunkt s och X(t) är alla slumpmässiga utfall vid tid t. Antingen gäller ju: $E [μ_{X} (s) X (t)] = - E [μ_{X} (t) X (s)], e l l e r E [μ_{X} (s) X (t)] = E [μ_{X} (t) X (s)] = 0$

För mig är inget av dessa utfall självklart så förstår inte riktigt hur dom tänker här.

Någon som vet hur det blir som det blir?

Tack på förhand!

Hej!

I allmänhet kan Cov(X,Y) uttryckas E(XY)-E(X)E(Y).

Vi bevisar det i allmänhet vilket bevisar din specifika fråga:

$C o v (X, Y) = E ((X - μ_{x}) (Y - μ_{y})) = E (X Y) - E (X μ_{y}) - E (Y μ_{x}) + E (μ_{x} μ_{y}) = E (X Y) - μ_{x} E (Y) - μ_{y} E (X) + μ_{x} μ_{y} = E (X Y) - μ_{x} μ_{y} - μ_{x} μ_{y} + μ_{x} μ_{y} = E (X Y) - μ_{x} μ_{y} = E (X Y) - E (X) E (Y) .$

Vad vi utnyttjar här är bara linjäriteten i väntevärdet.

Det du skriver sen vet jag inte om jag förstår vad menar men $μ_{x} (s)$ är inte ett medelvärde, det är ett väntevärde. Det är viktigt att du förstår den skillnaden: $μ_{x} (s)$

är inte en slumpvariabel! Det är en konstant. Man skattar ju ofta väntevärdet med medelvärdet, som är en slumpvariabel, eftersom stora talens lag innebär att medelvärdet konvergerar mot väntevärdet men de är ju ine samma sak.

My bad! Skrev medelvärde av bara farten. Men nu fattar jag hur det fungerar, tack för svaret!!

Hej,

Eftersom det endast är slumpvariabeln $X$ som figurerar i diskussionen kan du ta bort den från beteckningarna; det som är väsentligt är att väntevärdet eventuellt förändras med tiden så beteckningen bör ta hänsyn till det. Skriv därför $K(t,s)$ och $R(t,s)$ samt $\mu_t$ och $\mu_s$ .

Din tanke ger därför

$K(t,s) = R(t,s)-\mu_s\mathbb{E}(X_t)-\mu_t\mathbb{E}(X_s)+\mu_t\mu_s = R(t,s)-\mu_t\mu_s.$

Detta skrivs vanligtvis på följande sätt.

$\text{Cov}(X_t,X_s) = \mathbb{E}(X_tX_s)-\mathbb{E}(X_t)\mathbb{E}(X_s).$

Notera att om $X_t$ och $X_s$ är oberoende så är kovariansen noll, medan om kovariansen är noll så är $X_t$ och $X_s$ endast okorrelerade; de kan mycket väl vara beroende, fast på ett icke-linjärt sätt.

Svara

Visa senaste svar