Att veckla ut en cirkel till en rektangel. (Confused)

Du har rätt i att den där operationen ger oss en parallelltrapets och inte en rektangel. 

Möjligtvis kunde man göra ytterligare steget att man klipper av en triangelbit från ena sidan genom ett lodrätt snitt från nedre vänstra hörnet, roterar runt triangelbiten, och sätter den på andra sidan så att vi får två räta sidor. Då får man en rektangel vars bas är (yttre omkrets + inre omkrets)/2 om man fyller i detaljerna. Men man kan inte få en rektangel bara genom utrullning. 

Nu när jag läser om tråden så förstår jag att det är svårare att begripa än vad jag hade tänkt i mitt huvud. 

"Hur får vi ett rätblock med längd 12pi och bredden 4" ?

Hur kan vi få den cirkulära figuren till denna? 

SeriousCephalopod skrev:

Du har rätt i att den där operationen ger oss en parallelltrapets och inte en rektangel. 

Möjligtvis kunde man göra ytterligare steget att man klipper av en triangelbit från ena sidan genom ett lodrätt snitt från nedre vänstra hörnet, roterar runt triangelbiten, och sätter den på andra sidan så att vi får två räta sidor. Då får man en rektangel vars bas är (yttre omkrets + inre omkrets)/2 om man fyller i detaljerna. Men man kan inte få en rektangel bara genom utrullning. 

 Tack så mycket, Jag är inte galen!
Och måtten stämmer också då ellerhur? :) 

Har du någonsin funderat på detta på samma sätt som jag har gjort? 

EDIT:
SeriousCephalopod menar på följande sätt: 

SeriousCephalopod skrev:

 "Då får man en rektangel vars bas är (yttre omkrets + inre omkrets)/2 om man fyller i detaljerna". 

basen blir $8\mathrm{\pi }$

Korra skrev:

SeriousCephalopod skrev:

 

...

 Tack så mycket, Jag är inte galen!
Och måtten stämmer också då ellerhur? :) 

Har du någonsin funderat på detta på samma sätt som jag har gjort? 

EDIT:
SeriousCephalopod menar på följande sätt: 

Om jag funderat på det viset? Jo, det känns igen. 

Ja det var det där i bilden jag menade. 

Man kan även får viss ledning genom att studera de algebraiska uttrycken som representera situationen.

Det kanske enklaste sättet att representera arean är att ta yttercirkelns radie och innercirkelns radie och ställa upp arean som arean av en stor cirkel minus arean av den inre cirkeln som vi skär bort när annanaskärnan skärs ut. 

$\pi R^2 - \pi r^2$

För att representera detta som en rektangel bör vi försöka faktorisera det hela och får något i stil med BH (bas ggr höjd)

$\pi(R^2 - r^2)$. Sedan med konjugatregeln

$\pi(R + r)(R - r)$

$R - r$ kan vi observera är höjden hos rektangeln. $h = R - r$ och $\pi(R + r)$ är basen vilket stämmer med din uppställning där R = 6 och r = 2. Sedan kan man relatera det hela till omkretsen också där via

$\pi (R+r)(R-r)=\frac{2\pi R+2\pi r}{2}(R-r)=\frac{O_{\text{yttre}}+O_{\text{inre}}}{2}(R-r)$

Skälet till att jag tar upp detta är att en av de stora drivkrafterna historiskt bakom utvecklingen av algebra inte nödvändigtvis var att göra numeriska beräkningar utan för att hitta insikter om geometriska problem. Algebran har här gett oss att annanassskivan i princip borde gå att omforma till en rektangel med höjd är avståndet mellan innerkant och ytterkant och basen är medelvärdet av yttre och inre omkrets -- även om algebran inte säger exakt hur detta går till. 

SeriousCephalopod skrev:

Om jag funderat på det viset? Jo, det känns igen. 

Ja det var det där i bilden jag menade. 

 Hmm, jag trodde att vi skulle få en rektangel med måtten $b=12\pi, h=4$ men vi fick istället en rektangel med måtten $b=8\pi, h=4$.  Vilket av dem stämmer? 

Jovisst, ibland är ju inte ens första idé rätt och då handlar det bara om att ha verktygen för att kunna se det i något skede. 

Rektangeln längstner i bilden är ju vad du skulle fått om figuren inte hade smalnat av mot basen när man rullar ut annanassskivan. $12\pi$ är ju yttre omkretsen, men inneromkretsen är ju mindre så vi kan inte rulla ut den till den rektangeln. 

SeriousCephalopod skrev:

Jovisst, ibland är ju inte ens första idé rätt och då handlar det bara om att ha verktygen för att kunna se det i något skede. 

Rektangeln längstner i bilden är ju vad du skulle fått om figuren inte hade smalnat av mot basen när man rullar ut annanassskivan. $12\pi$ är ju yttre omkretsen, men inneromkretsen är ju mindre så vi kan inte rulla ut den till den rektangeln. 

Fast om jag hade fått gissa utan att tänka efter så hade jag trott att rektangelns längt faksiskt ska vara $12\pi$ men precis som vi nu har kommit fram till så är den inre omkretsen för kort helt enkelt. 

Den korrekta rektangeln är därför $b=8\pi,h=4$.

Eftersom att jag inte har tagit hänsyn till detta så har jag högst troligt fel i denna tråd där jag faktiskt antog att rektangeln som man får efter "utveckling" skulle ha samma längd som den yttre cirkelns omkrets. Jag får korrigera det. 

Tack så mycket, du är duktig. 

Tänk dig att du delar ananasskivan i t ex 16 delar. Lägg ut dem så att den övre sidan är så rak som möjligt. Då kommer du att få en rektangel som har längden $12\pi$ men som ser ut ungefär så här: VVVVVVVVVVVVVVVV. Som du ser är det en massa glipor i nederkanterna, där ananasbitarna inte når fram till varandra. Ta sedan och vänd på varannan ananasbit. Då kan du skjuta ihop bitarna, så att rektangeln blir kortare än den var förut. Det kommer att se ut ungefär så här: VAVAVAVAVAVAVAVA. Dela så den sista ananasbiten i två halvor och lägg den ena allra först. Du har fått en hyfsad rektangel. Tänk dig sedan att du delar ananasskivan i oändligt många bitar. Då får du verkligen en rektangel. Rektangelns långsida kommer att bli medelvärdet mellan den korta och den långa sidan i ananasskivan.