Att räkna koordinater

Välkommen till Pluggakuten! När du har bestämt linjens ekvation, vill vi hitta två punkter är linjen skär kurvan. Det sker då funktionernas x- och y-värden är desamma. Du kan då sätta $y=y$, vilket blir samma sak som $x^{2}-3=$"högerledet av linjens ekvation". Lös för värdena på x då detta stämmer. :)

Hej och välkommen till pluggakuten

Räkna först ut linjens ekvation med hjälp av $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=k$ och sätta in en av punkterna i ekvationen y=k*x+m för att få ut m-värdet

Sedan för att se när linjen skär kurvan kan du bara sätta funktionerna lika varandra $kx+m=x^2-3$ och använda pq

Alternativt kan man använda parameterform (om du sett det?):

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=$

$\frac{14-6}{3-1}=4\Rightarrow$

$(x(t),y(t))=(1+t,6+4t)$

Vidare har vi: $y=x^2-3$, vilket ger:

$6+4t=(1+t)^2-3$

...

Jättetack för era svar! Men jag blir konfunderad.. för de värden jag får fram genom pq-formeln är ju bara nollställena. Det är ju koordinaterna där den räta linjen skär andragradsekvationen som jag vill ha fram. Är det jag som krånglar till det för mig?

Det du får fram är inte nollställena till andragradsfunktionen, utan nollställena till den funktion som består av både andragradsfunktionen och den räta linjens funktion.

Kalla andragradsfunktionen för f(x), och den räta linjens funktion för g(x). Då ställer vi upp ekvationen $f(x)=g(x)$, vilket vi sedan skriver om till $f(x)-g(x)=0$. Nollställena till funktionen $h(x)=f(x)-g(x)$ är alltså samma som skärningspunkterna mellan f(x) och g(x), vilket är vad vi vill hitta. Så det kommer att gå bra. :)

Linn skrev:

Jättetack för era svar! Men jag blir konfunderad.. för de värden jag får fram genom pq-formeln är ju bara nollställena. Det är ju koordinaterna där den räta linjen skär andragradsekvationen som jag vill ha fram. Är det jag som krånglar till det för mig?

Hej Linn.

Smutstvätt gav en utmärkt beskrivning av likheterna mellan att hitta skärningspunkter och nollställen.

Jag försöker här visa varför det går att använda samma tankesätt och lösningsmetod oavsett om det gäller att hitta skärningspunkter eller nollställen. 

--------------------------

Skärningspunkter mellan två kurvor:

För kurvan som är given genom sambandet $y=x^2-3$ gäller att

• alla punkter som uppfyller sambandet $y=x^2-3$ ligger på kurvan.
• alla punkter som ligger på kurvan uppfyller sambandet $y=x^2-3$.

Linjen som går genom punkterna (1, 6) och (3, 14) uppfyller sambandet $y=4x+2$. Det betyder att

• alla punkter som uppfyller sambandet $y=4x+2$ ligger på linjen.
• alla punkter som ligger på linjen uppfyller sambandet $y=4x+2$.

Du vill nu ta reda på vilka skärningspunkterna mellan kurvan och linjen är. Det är samma sak som att hitta den/de punkter som ligger både på kurvan och på linjen. Det är samma sak som att hitta den/de punkter som uppfyller båda sambanden.

Eftersom båda sambanden ska vara uppfyllda så hittar du punkterna genom att lösa ekvationssystemet

$y=x^2-3$

$y=4x+2$

Detta är samma sak som att lösa ekvationen $x^2-3=4x+2$.

Ovanstående är en generell metod för att hitta skärningspunkter mellan två kurvor.

--------------------------

En kurvas nollställen:

Det går att hitta en kurvas nollställen enligt exakt samma tankesätt och metod som ovanstående.

Tänk dig att du ska hitta nollställena till kurvan $y=x^2+x-2$.

Att hitta kurvans nollställen är samma sak som att hitta kurvans skärningspunkter med x-axeln.

Eftersom x-axeln är en linje som kan beskrivas av sambandet $y=0$ så gäller att du får fram nollställena genom att hitta skärningspunkterna mellan kurvan $y=x^2+x-2$ och linjen $y=0$.

Precis på samma sätt som ovanstående så hittar du skärningspunkterna genom att lösa ekvationssystemet

$y=x^2+x-2$

$y=0$

Dvs att lösa ekvationen $x^2+x-2=0$

Tusen tack för bra och mycket pedagogisk förklaring! :)