Att lösa den algebraiskt

Hej,

Jag håller på en fråga som jag har löst den grafiskt.

frågan är; Vilka värden på z uppfyller villkoren |z|=2 och |z-2i|=1

Stämmer det att genom att rita de två cirklarna kommer de att skäras i två punkter? Dess två skärningspunkterna är lösningar.

Om det stämmer, hur kan det lösas algebraiskt, hur ska jag börja?

Tack i förhand!

Du kan sätta

z = x + i*y

där x och y är reella tal. Hur ser de två villkoren ut då? Kan du kanske kvadrera dem?

Dr. G skrev :
Du kan sätta
z = x + i*y
där x och y är reella tal. Hur ser de två villkoren ut då? Kan du kanske kvadrera dem?

Är det rätt så här ;

|z|=2 ger a^2 +b^2 =4 , jag löser a^2 ut , a^2 = 4-b^2 .........(1)

|z-2i|= ger a^2 + (b-2)^2 =1 , från ....(1) blir b=1/-4

och a =3sqrt(7)/4

Du har tänkt rätt med ekvationerna, men du har nog löst det felaktigt. Din geometriska tolkning är korrekt, testa skissa den och se om det är vettigt med en lösning där b = -1/4.

Men för att visa hur man kan räkna ut det så är det. Du har kommit fram till att

$a^{2} + b^{2} = 4, a^{2} + (b - 2)^{2} = 1$

Tar vi den andra ekvationen i detta system så kan den skrivas som

$a^{2} + b^{2} - 4 b + 4 = 1$

Notera nu att vi vet vad a^2 + b^2 är från första ekvationen så man får att

$4 - 4 b + 4 = 1 \Leftrightarrow 4 b = 7 \Leftrightarrow b = 7 / 4$

Stoppa in detta i första ekvationen så får man att

$a^{2} + (7 / 4)^{2} = 4 \Leftrightarrow a^{2} = 4 - 49 / 16 = 15 / 16 \Leftrightarrow a = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

Vi har alltså två lösningar

$z = \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{7 i}{4}, z = - \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{7 i}{4}$

Din grafiska lösning har ju givit dig två lösningar - är det någon av dem som stämmer med den här?

Visa gärna hur du kom fram till värdena på a och b. (Jag fick helt andra värden.)

Stokastisk skrev :
Du har tänkt rätt med ekvationerna, men du har nog löst det felaktigt. Din geometriska tolkning är korrekt, testa skissa den och se om det är vettigt med en lösning där b = -1/4.

Men för att visa hur man kan räkna ut det så är det. Du har kommit fram till att
$a^{2} + b^{2} = 4, a^{2} + (b - 2)^{2} = 1$
Tar vi den andra ekvationen i detta system så kan den skrivas som
$a^{2} + b^{2} - 4 b + 4 = 1$
Notera nu att vi vet vad a^2 + b^2 är från första ekvationen så man får att
$4 - 4 b + 4 = 1 \Leftrightarrow 4 b = 7 \Leftrightarrow b = 7 / 4$
Stoppa in detta i första ekvationen så får man att
$a^{2} + (7 / 4)^{2} = 4 \Leftrightarrow a^{2} = 4 - 49 / 16 = 15 / 16 \Leftrightarrow a = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$
Vi har alltså två lösningar
$z = \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{7 i}{4}, z = - \frac{\sqrt{15}}{4} + \frac{7 i}{4}$

Tack för din svar. Den var väldigt tydligt.

smaragdalena skrev :
Din grafiska lösning har ju givit dig två lösningar - är det någon av dem som stämmer med den här?
Visa gärna hur du kom fram till värdena på a och b. (Jag fick helt andra värden.)

Jag har bra skissat de två cirklar då fick jag två skärningspunkterna. Jag kan inte läsa av det exakta värdet och därför vill jag lösa det algebraiskt.

Du ska lösa det algebraiskt men det är ändå en bra idé att rita cirklarna för att rimlighetskontrollera ditt resultat.

MK00 skrev :
smaragdalena skrev :
Din grafiska lösning har ju givit dig två lösningar - är det någon av dem som stämmer med den här?
Visa gärna hur du kom fram till värdena på a och b. (Jag fick helt andra värden.)
Jag har bra skissat de två cirklar då fick jag två skärningspunkterna. Jag kan inte läsa av det exakta värdet och därför vill jag lösa det algebraiskt.

Jag menade hur du kom fram till a och b algebraiskt (men det var inte särskilt tydligt skrivet, sår jag erkänna).

Svara

Visa senaste svar