Att gå mot noll / att gå mot oändligheten

Ett gränsvärde för en funktion beskriver vilket värde funktionen närmar sig då dess variabel (variabler) närmar sig ett viss värde.

Se t.ex. på funktionen $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Vi vill nu undersöka gränsvärdet för funktionen ovan då x (d.v.s. funktionens variabel) går mot minus oändligheten. Detta innebär att vi vill veta om funktionen närmar sig ett visst, entydigt bestämt värde då vi går oändligt mot minus. Vad blir ett tal delat i oändligt många delar? Noll, eller hur? Du ser också i grafen att om vi går mot plus eller minus oändligheten så går funktionen allt närmare noll. Detta kan vi skriva som

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

Märk att man inte bara kan plugga in 0 i funktionen, eftersom vi inte kan dividera med noll. Men du ser också att funktionen går mot ett visst värde då vi närmar oss noll. Märk också att funktionen går mot olika värden då vi närmar oss noll från höger och vänster. Vad händer om vi delar ett tal med ett tal som är oändligt litet, d.v.s. nästan men inte exakt noll? Kvoten blir då oändligt stor. Om vi istället delar talet med ett negativt, oändligt litet tal blir kvoten minus oändligheten. Detta ser du också i grafen. Vi kan skriva detta som

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\infty \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \end{gathered}$$

Det är två helt skilda saker.

Det är i princip samma skillnad som mellan att gå mot 0 och att gå mot positiva oändligheten.

Att gå mot den negativa oändligheten innebär att bli allt större, men negativ. Exempelvis går talföljden $-{10}^0, -{10}^1, -{10}^2, -{10}^3, -{10}^4...$ mot negativ oändlighet, medan talföljden ${10}^0, {10}^{-1}, {10}^{-2}, {10}^{-3}...$ går mot noll. I funktionen $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$, går f(x) mot noll när x-värdet går mot ± oändligheten, medan f(x) går mot oändligheten när x närmar sig noll. Det är alltså en stor skillnad på att x går mot noll/negativ oändlighet, och att f(x) går mot noll/negativ oändlighet.

Korvgubben skrev :

Ett gränsvärde för en funktion beskriver vilket värde funktionen närmar sig då dess variabel (variabler) närmar sig ett viss värde.

Se t.ex. på funktionen $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Vi vill nu undersöka gränsvärdet för funktionen ovan då x (d.v.s. funktionens variabel) går mot minus oändligheten. Detta innebär att vi vill veta om funktionen närmar sig ett visst, entydigt bestämt värde då vi går oändligt mot minus. Vad blir ett tal delat i oändligt många delar? Noll, eller hur? Du ser också i grafen att om vi går mot plus eller minus oändligheten så går funktionen allt närmare noll. Detta kan vi skriva som

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

 

Märk att man inte bara kan plugga in 0 i funktionen, eftersom vi inte kan dividera med noll. Men du ser också att funktionen går mot ett visst värde då vi närmar oss noll. Märk också att funktionen går mot olika värden då vi närmar oss noll från höger och vänster. Vad händer om vi delar ett tal med ett tal som är oändligt litet, d.v.s. nästan men inte exakt noll? Kvoten blir då oändligt stor. Om vi istället delar talet med ett negativt, oändligt litet tal blir kvoten minus oändligheten. Detta ser du också i grafen. Vi kan skriva detta som

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\infty \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \end{gathered}$$

Så  när funktionen  går mot både den negativ oändligheten och positiv oändligheten så närmar den sig noll men den blir aldrig noll. Så med oändligheten så innebär det att funktionen kommer att komma allt närmare 0 men aldrig bli noll. Men hos en annan okänd funktion där x går mot 0 så kan man alltså komma närmare ett visst bestämt värde? Är det skillnaden mellan dem?

Så länge x går mot ett tal kan funktionen producera ett värde. Oändligheten är inte ett tal -- det är bara något som alltid är större (eller mindre för negativa oändligheten) än ett tal.

Då säger man kanske att 0 är ett tal. Men att bevisa att $\frac{1}{\infty }=0$ är problematiskt, då man kommer sitta och skriva nollor i all oändlighet och det kommer aldrig vara tillräckligt med decimaler. Nu kanske det är så att detta faktum i sig är bevis nog.. så jag hoppas någon är så snäll och rättar mig om jag pratar strunt nu.