Att bevisa en tangent

Jag skulle  uttrycka det så här:

1 )Tangenten skär inte kurvan, den tangerar (snuddar) i punkten a där lutningen är f'(a). Den kan för vissa funktioner skära kurvan på flera ställen. Det är dock inte ett kriterium för tangent.  

2) Du menar nog rätt ,men har vänt på det. I tangeringspunkten a är lutningen k för tangenten = f'(a)

I ett tal kan en annan skärningspunkt användas för bestämma k för tangenten om man också vet tangeringspunkten.

Oj, ja det var så jag menade på 2). Men på 1) när jag sätter räta linjen=kurvan, då får jag väl fram en eller flera skärningspunkter som jag sen måste kontrollera genom att ta lutningen för? Om de har samma lutning innebär det att den är tangent till kurvan? 

Jag förstår inte riktigt vad du menar i 1). Hur sätter du räta linjen = kurvan. f'(x) är lika med lutningen i punkten x.  Du får nog ge mig ett exempel.

Jag menar att jag tar derivatan av kurvan och sätter in skärningspunkten för att se lutningen i den punkten. Om räta linjen skär kurvan y=x^2 för x=3, kollar jag lutningen y'(3)=2*3=6. Vi förutsätter då att räta linjens ekvation är y=6x + m. Därför är den räta linjen en tangent till kurvan. Har jag förstått rätt? 

En tangent skär aldrig kurvan i tangeringspunkten. Den bara tangerar (= nuddar, rör vid) kurvan i en enda punkt. Tangenten kan mycket väl skära kurvan i en annan punkt.

Ja, jag förstår. Frågan blir då hur jag vet om den räta linjen endast tangerar eller faktiskt skär kurvan? Har det med att diskriminanten = 0 att göra? 

Knappast, diskriminanten har bara med andragradsekvationer att göra. Det kan naturligtvis vara så i ett specifikt fall, men inte i allmänhet.

Tänkte väl, men hur vet jag då om linjen endast skär eller tangerar kurvan? 

Jodå, en tangent kan mycket väl skära en kurva i tangeringspunkten.

Exempel: Linjen $y = 0$ är en tangent till och skär kurvan $y = x^3$ i origo.

Tack Yngve, det är så jag tänker. Här är mina tankar:

Derivatan är y'x= 3x^2. Vi vet att k=0 för den räta linjen y=0. Vi sätter kurvan = räta linjen, dvs 0=x^3, vi får då att x=0.

K-värde för räta linjen är 0. K-värdet (derivatan) av kurvan i den punkten är y'(0)=0. Nu vet vi att eftersom 

1) räta linjen skär kurvan 

2) lutningen är samma i den punkten

så är den räta linjen y=0 en tangent till kurvan y=x^3 i punkten x=0. Detta är min uppfattning, och det var allt jag ville dubbelkolla.....

Hej!

Om jag förstår dig rätt, så undrar du om givet en rät linje $y=kx+m$ , kan vi då hitta en funktion $f$ sådan att $y=kx+m$ är en tangent till $f$ i en fix punkt $x=p$?

Om det är din fråga, så verkar svaret vara ja (och enklare än du kanske tror). Vi kan nämligen mer eller mindre konstruera denna funktion, och det på många sätt. Denna funktion $f$ är inte heller unik.

Vi har $k$ givet, och vill hitta en funktion $f$ sådan att $f'(p)=k$. Låt $f(x)=ax^2+bx+c$. Då gäller att $f'(p)=2ap+b$, detta kan vi självklart likställa med $k$ och få $2ap+b=k$ för något $k$. 

Det andra kravet vi har är att $ap^2+bp+c=kp+m$. Glöm inte att $p$ är en förvald punkt så den är fix, men vi kan variera $a, b$ och $c$ hur mycket vi vill.

Vi får alltså två ekvationer med tre variabler, och det kan vi förhoppningsvis lösa.

Notera att nu använde vi bara en andragradsfunktion, vi kan använda någon annan lämplig funktion också.

Intuitivt kan du tänka att du drar en rätlinje i planet, och sen försöker du rita dit en funktion som har denna rätalinje som tangent i en punkt. I argumentet ovan tänkte vi oss en andragradsfunktion. Du kan tänka på det som oavsett vart den rätalinjen är någonstans, så kan vi flytta på andragradsfunktionen så att den rätalinjen blir en tangent till funktionen. 

Rita gärna en bild.

Hej Moffen! Jag stötte för ett tag sen på en fråga där jag skulle bevisa att en angiven rät linje var en tangent till en viss angiven kurva, och sedan även ange tangeringspunkten. Frågan var väldigt enkel, på E/C-nivå tror jag. Det fick mig att fundera över vilka krav som finns för att en rät linje ska vara en tangent till en viss kurva. Det jag kom fram till var att 

1) Kurvan och linjen ska ställas lika med varandra, för att hitta möjliga tangeringspunkter, t.ex x=P

2) Att de ska ha samma lutning för punkten x=P 

Om dessa krav uppfylls, så är linjen en tangent till kurvan i punkten x=P. 

Det du skriver är snarlikt, men inte riktigt det jag ville dubbelkolla. Jag uppskattar dock ditt välutvecklade svar, och jag kommer definitivt att spara det till ett senare tillfälle! 

Ambi_Pluggaren skrev:

Hej Moffen! Jag stötte för ett tag sen på en fråga där jag skulle bevisa att en angiven rät linje var en tangent till en viss angiven kurva, och sedan även ange tangeringspunkten. Frågan var väldigt enkel, på E/C-nivå tror jag. Det fick mig att fundera över vilka krav som finns för att en rät linje ska vara en tangent till en viss kurva. Det jag kom fram till var att 

1) Kurvan och linjen ska ställas lika med varandra, för att hitta möjliga tangeringspunkter, t.ex x=P

2) Att de ska ha samma lutning för punkten x=P 

Om dessa krav uppfylls, så är linjen en tangent till kurvan i punkten x=P. 

Det du skriver är snarlikt, men inte riktigt det jag ville dubbelkolla. Jag uppskattar dock ditt välutvecklade svar, och jag kommer definitivt att spara det till ett senare tillfälle! 

Ok, så kurvan (funktionen) var alltså given.

Ja då räcker det att se efter om det finns några potentiella tangeringspunkter, och om dom har det, om dom har samma lutning i någon av punkterna.

Ok, då vet jag. Tack så mycket för alla svar! Jag uppskattar verkligen hjälpen, även din Moffen!!!