14 svar
359 visningar
Ambi_Pluggaren behöver inte mer hjälp
Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 16:44

Att bevisa en tangent

Hej! En snabb fråga. Jag har för mig att det finns två krav för att avgöra om en rät linje är en tangent till en kurva:

1) Tangenten skär (/tangerar) kurvan i minst en punkt

2) Där punkten skär grafen har kurvan och tangenten ha samma lutning.

Är detta allt jag ska tänka på? När jag avgör skärningspunkter, så kan det självklart finnas flera, men det som gör en rät linje till en tangent är att den dessutom har samma lutning i den punkten...stämmer det? 

rapidos 1727 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 17:34

Jag skulle  uttrycka det så här:

1 )Tangenten skär inte kurvan, den tangerar (snuddar) i punkten a där lutningen är f'(a). Den kan för vissa funktioner skära kurvan på flera ställen. Det är dock inte ett kriterium för tangent.  

2) Du menar nog rätt ,men har vänt på det. I tangeringspunkten a är lutningen k för tangenten = f'(a)

I ett tal kan en annan skärningspunkt användas för bestämma k för tangenten om man också vet tangeringspunkten.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 19:38

Oj, ja det var så jag menade på 2). Men på 1) när jag sätter räta linjen=kurvan, då får jag väl fram en eller flera skärningspunkter som jag sen måste kontrollera genom att ta lutningen för? Om de har samma lutning innebär det att den är tangent till kurvan? 

rapidos 1727 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 19:54

Jag förstår inte riktigt vad du menar i 1). Hur sätter du räta linjen = kurvan. f'(x) är lika med lutningen i punkten x.  Du får nog ge mig ett exempel.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 20:04

Jag menar att jag tar derivatan av kurvan och sätter in skärningspunkten för att se lutningen i den punkten. Om räta linjen skär kurvan y=x^2 för x=3, kollar jag lutningen y'(3)=2*3=6. Vi förutsätter då att räta linjens ekvation är y=6x + m. Därför är den räta linjen en tangent till kurvan. Har jag förstått rätt? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 6 jan 2021 20:14

En tangent skär aldrig kurvan i tangeringspunkten. Den bara tangerar (= nuddar, rör vid) kurvan i en enda punkt. Tangenten kan mycket väl skära kurvan i en annan punkt.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 20:39

Ja, jag förstår. Frågan blir då hur jag vet om den räta linjen endast tangerar eller faktiskt skär kurvan? Har det med att diskriminanten = 0 att göra? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 6 jan 2021 20:47

Knappast, diskriminanten har bara med andragradsekvationer att göra. Det kan naturligtvis vara så i ett specifikt fall, men inte i allmänhet.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 20:59

Tänkte väl, men hur vet jag då om linjen endast skär eller tangerar kurvan? 

Yngve 40278 – Livehjälpare
Postad: 6 jan 2021 21:06

Jodå, en tangent kan mycket väl skära en kurva i tangeringspunkten.

Exempel: Linjen y=0y = 0 är en tangent till och skär kurvan y=x3y = x^3 i origo.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 21:12

Tack Yngve, det är så jag tänker. Här är mina tankar:

Derivatan är y'x= 3x^2. Vi vet att k=0 för den räta linjen y=0. Vi sätter kurvan = räta linjen, dvs 0=x^3, vi får då att x=0.

K-värde för räta linjen är 0. K-värdet (derivatan) av kurvan i den punkten är y'(0)=0. Nu vet vi att eftersom 

1) räta linjen skär kurvan 

2) lutningen är samma i den punkten

så är den räta linjen y=0 en tangent till kurvan y=x^3 i punkten x=0. Detta är min uppfattning, och det var allt jag ville dubbelkolla.....

Moffen 1875
Postad: 6 jan 2021 21:37 Redigerad: 6 jan 2021 21:37

Hej!

Om jag förstår dig rätt, så undrar du om givet en rät linje y=kx+my=kx+m , kan vi då hitta en funktion ff sådan att y=kx+my=kx+m är en tangent till ff i en fix punkt x=px=p?

Om det är din fråga, så verkar svaret vara ja (och enklare än du kanske tror). Vi kan nämligen mer eller mindre konstruera denna funktion, och det på många sätt. Denna funktion ff är inte heller unik.

Vi har kk givet, och vill hitta en funktion ff sådan att f'(p)=kf'(p)=k. Låt f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c. Då gäller att f'(p)=2ap+bf'(p)=2ap+b, detta kan vi självklart likställa med kk och få 2ap+b=k2ap+b=k för något kk

Det andra kravet vi har är att ap2+bp+c=kp+map^2+bp+c=kp+m. Glöm inte att pp är en förvald punkt så den är fix, men vi kan variera a,ba, b och cc hur mycket vi vill.

Vi får alltså två ekvationer med tre variabler, och det kan vi förhoppningsvis lösa.

Notera att nu använde vi bara en andragradsfunktion, vi kan använda någon annan lämplig funktion också.


Intuitivt kan du tänka att du drar en rätlinje i planet, och sen försöker du rita dit en funktion som har denna rätalinje som tangent i en punkt. I argumentet ovan tänkte vi oss en andragradsfunktion. Du kan tänka på det som oavsett vart den rätalinjen är någonstans, så kan vi flytta på andragradsfunktionen så att den rätalinjen blir en tangent till funktionen. 

Rita gärna en bild.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 21:55

Hej Moffen! Jag stötte för ett tag sen på en fråga där jag skulle bevisa att en angiven rät linje var en tangent till en viss angiven kurva, och sedan även ange tangeringspunkten. Frågan var väldigt enkel, på E/C-nivå tror jag. Det fick mig att fundera över vilka krav som finns för att en rät linje ska vara en tangent till en viss kurva. Det jag kom fram till var att 

1) Kurvan och linjen ska ställas lika med varandra, för att hitta möjliga tangeringspunkter, t.ex x=P

2) Att de ska ha samma lutning för punkten x=P 

Om dessa krav uppfylls, så är linjen en tangent till kurvan i punkten x=P. 

Det du skriver är snarlikt, men inte riktigt det jag ville dubbelkolla. Jag uppskattar dock ditt välutvecklade svar, och jag kommer definitivt att spara det till ett senare tillfälle! 

Moffen 1875
Postad: 6 jan 2021 22:16
Ambi_Pluggaren skrev:

Hej Moffen! Jag stötte för ett tag sen på en fråga där jag skulle bevisa att en angiven rät linje var en tangent till en viss angiven kurva, och sedan även ange tangeringspunkten. Frågan var väldigt enkel, på E/C-nivå tror jag. Det fick mig att fundera över vilka krav som finns för att en rät linje ska vara en tangent till en viss kurva. Det jag kom fram till var att 

1) Kurvan och linjen ska ställas lika med varandra, för att hitta möjliga tangeringspunkter, t.ex x=P

2) Att de ska ha samma lutning för punkten x=P 

Om dessa krav uppfylls, så är linjen en tangent till kurvan i punkten x=P. 

Det du skriver är snarlikt, men inte riktigt det jag ville dubbelkolla. Jag uppskattar dock ditt välutvecklade svar, och jag kommer definitivt att spara det till ett senare tillfälle! 

Ok, så kurvan (funktionen) var alltså given.

Ja då räcker det att se efter om det finns några potentiella tangeringspunkter, och om dom har det, om dom har samma lutning i någon av punkterna.

Ambi_Pluggaren 61
Postad: 6 jan 2021 22:20

Ok, då vet jag. Tack så mycket för alla svar! Jag uppskattar verkligen hjälpen, även din Moffen!!! 

Svara
Close