att bestämma N(T) och R(T)

Är M_2,3 (C) beteckning för mängden av 2 x 3-matriser och vad betyder i så fall M₂ (C)?  Utgår från att C är de komplexa talen.

jag vet inte:/

skulle du kunna förklara eller möjligtvis skicka en länk med förklaring 

Det är förmodligen bara ett slarvfel i latex, tolka det så att du har radbrytningar så här

$BAC^{*}=\left(\begin{array}{cc}\text{a11}-i (\text{a12}+\text{a22})+\text{a21} & \text{a11}-\text{a13}+\text{a21}-\text{a23} \\\text{a11}-i \text{a12} & \text{a11}-\text{a13} \end{array}\right)$

okej men hur övergår man från den första matrisen till den sista?

hur blir $BA{C}^{*}=\left(\begin{array}{cc}a11-i(a12+a22)+a21& a11-a13+a21-a23\\ a11-ia12& a11-a13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a11+a21-i(a12+a22)& a11+a21-a13-ia12& a11-a13\end{array}\right)$

Jag förstår inte varför det skulle bli en 1x3-matris och hur det du just skrev hänger ihop? Troligare att facit missat en radbrytning och menar att $BAC^{*}$ är en 2x2.

$BAC^*=\left(\begin{array}{cc}a_{11}+a_{21}-i (a_{12}+a_{22}) & a_{11}-a_{13}+a_{21}-a_{23} \\ a_{11}-ia_{12} & a_{11}-a_{13}\end{array}\right)$

jahha okej,

En till fråga, är  $M_{2,3}\left(C\right)$ betäckning för mängden av 2x3-matriser?

Och vad innebär $M_2\left(C\right)$?

Vanligtvis betyder $M_2(C)$ mängden $M_{2\times 2} \mathbb{C}$. Vid kvadratiska matriser upprepar man inte indexet. Dvs när $m=n$ skrivs $M_{m\times n}\mathbb{C}$ bara som $M_n\mathbb{C}$

Andra skrivsätt är $M(m,n,\mathbb{C})$ och $M_{m,n}(\mathbb{C})$

Du får naturligtvis ersätta $\mathbb{C}$ med valfritt fält, ring, $\Gamma_\mathfrak{f}$ eller what ever.

oke tack!

När jag har kommit fram till matrisen, vad ska jag göra sen? jag vet att dimR(T)=4

då vet vi att dimN(T)=2

 hur tar jag reda på de 2 matriserna för N(T)?

.

.

?

dsvdv skrev:

.

Det du har skrivit i inlägg #10 och 11 syns inte.

det jag skrev i inlägg 10 och 11 har jag skrivit i inlägg 9 istället

Det finns många sätt att finna nollrummet. För att $BAC^*$ ska vara noll måste varje enskilt element vara 0. Det ger dig 4 ekvationer och 6 okända. Ekvationerna är enkla. Sätt t.ex. $a_{11}=\lambda_1$ och $a_{21}=\lambda_2$. Det följer att 

$(BAC^*)_{22}=0\implies a_{13}=\lambda_1$ och $(BAC^*)_{21}=0\implies a_{12}=-i\lambda_1$ osv.

Lös ut samtliga element $a_{ij}$. Det visar sig att $A$ bara beror av $\lambda_1$ och $\lambda_2$. Visa att denna matris kan skrivas som en linjärkombination av två basmatriser med koefficienterna $\lambda_1$ och $\lambda_2$.

I facit har dem kommit fram till denna matris men vet ej hur de kom fram till den?

men kan ett av matriserna vara t.ex.

$\left(\begin{array}{ccc}i& 1& i\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Ja, det är en möjlig basvektor. Och matrisen $[T]^\gamma_\beta$ är matrisen för avbildningen. Den kan du få fram genom att studera hur basvektorerna avbildas. Dessa bildar sedan kolonnerna i avbildningsmatrisen. Exempelvis

$T\left(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0& 0\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}1 & 1  \\1 & 1\end{bmatrix}=v_1+v_2+v_3+v_4$

Så den första kolonnen ska alltså bestå av $(1,1,1,1)$ osv. Men det jag egentligen hade tänkt att du skulle se var att matrisen

$BAC^*=\left(\begin{array}{cc}a_{11}+a_{21}-i (a_{12}+a_{22}) & a_{11}-a_{13}+a_{21}-a_{23} \\ a_{11}-ia_{12} & a_{11}-a_{13}\end{array}\right)$

ger upphov till 4 ekvationer när $BAC^*=0$ (en för varje komponent)

$a_{11}-a_{13}=0\\a_{11}-ia_{12}=0\\a_{11}-a_{13}+a_{21}-a_{23}=0\\a_{11}+a_{21}-i (a_{12}+a_{22}) =0$

Med $a_{11}=\lambda_1$ och $a_{21}=\lambda_2$ kan vi då teckna

$a_{ij}=\left(\begin{array}{ccc} \lambda_1 & -i\lambda_1 & \lambda_1\\ \lambda_2 & -i\lambda_2 & \lambda_2\end{array}\right)=\lambda_1\begin{bmatrix}1 &- i & 1\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}+\lambda_2\begin{bmatrix}0 &0 &0 \\1 & -i & 1\end{bmatrix}$ där $\lambda_1,\,\lambda_2\in\mathbb{C}$

De två matriserna $\begin{bmatrix}1 &- i & 1\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},\, \begin{bmatrix}0 &0 &0 \\1 & -i & 1\end{bmatrix}$ är alltså en möjlig bas för $N(T)$. Skalar vi om den första matrisen med konstanten $i$ får vi den basvektor du själv föreslog.