Att bestämma en andragradsfunktion

man ska ha någon konstant har min mattelärare sagt

Det är helt sant!

men hur och varför

Att den ekvationen har nollställena -1 och 2 är lätt att se: om x=-1 är x+1=0, om x=2 är x-2=0, och om någon faktor är noll så är produkten 0.

Att det gäller åt andra hållet, dvs att funktionen _måste_ ha den fomen, är lite klurigare att visa. Jag tror, men är inte helt säker på, att man inte bevisar det i gymnasiet, utan nöjer sig med att säga att det är så, och så får du lita på det. Men jag ska försöka mig på att skriva ett hyggligt enkelt bevis nedan.

Det är sant, förutsatt att det är olika c:n i dina två ekvationer. Eftersom talet utanför parenteserna kommer bli koefficienten på $x^2$-termen ifall man multiplicerar ut allt, är det bättre att använda $a$ så att de två formerna är "överens" om vad variabler betyder:

$y = a(x+1)(x-2)$

Du kan själv kontrollera detta. Säg att vi har en generell andragradsfunktion:

$y = ax^2 + bx + c$

med nollställen $x_1$ och $x_2$. Från pq-formeln kan vi få fram att dessa nollställen är

$x_1 = -\frac{b}{2a} + \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}}\\ x_2 = -\frac{b}{2a} - \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}}$

Prova nu att utveckla $y = a(x-x_1)(x-x_2)$. Det är lite jobb, men det går - och gör man rätt så landar man precis i $y = ax^2 + bx + c$. Så ja, polynomformen är helt likvärdig med den faktoriserade formen.

Du vet att andragradsfunktionen har formen $c(x^2+px+q)$ för några okända tal $c, p, q$, eller hur? Vi kvadratkompletterar till $c((x+\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2+q)=c((x+\frac{p}{2})^2-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}^2)$, och använder konjugatregeln till $c((x+\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q})(x+\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}))$. Alltså _går_ det att faktorisera alla andragradsfunktoner. Men om det går att faktorisera andragradsfunktionen, alltså skriva den som $c(x-a)(x-b)$ för några $a,b,c$, så måste den faktoriserade versionen ju ha samma nollställen som ursprungsolynomet. Och den faktoriserade versionen har, som vi såg tidigare, nollställena a och b (en produkt är noll om, och endast om, en av faktorerna är noll). Alltså kan vi alltid skriva ett polynom med nollställen a och b som $c(x-a)(x-b)$.
V.S.V