Asymtoter

Hej!

Jag skulle behöva lite hjälp med en uppgift, den lyder enligt följande. Undersök funktionen $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} - 4 x + 3}$ med avseende på extrempunkter, asymptoter. Skissera även grafen.

Jag har börjat med att derivera funktionen och fick då: $f' (x) = - \frac{2 (x^{2} - 3)}{(x - 3)^{2} (x - 1)^{2}}$ .

Sen undersökte jag var derivatan är = 0, och fann att $x = \pm \sqrt{3}$ .

Jag har alltså hittat extremvärdena och att skissa grafen klarar jag av, men det är asymptoterna som är problemet. Jag vet att asymptoter är linjer som kommer godtyckligt nära funktionen men aldrig skär den, dock vet jag ej hur jag ska räkna ut dessa linjer. Kan någon hjälpa mig med det?

Tack!

Vänligen,

Har nämnaren några nollställen? (Man kan ju inte dividera med 0.)

Nämnarens nollställen är x=1 och x=3(?)

Vad händer med funktionsvärdena när x närmar sig 1 (från vänster och från höger) respektive 3 (dito)?

Bestäm $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\,f(x)$ och $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f(x)$

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\,f(x)$

Ursäkta, jag har svårigheter att använd MathType här

Pröva med att använda dubbla dollartecken i stället för enkla, eller använd formeleditorn (ser ut som ett rotenur-tecken längst upp till höger i inskrivningsrutan).

Välkommen till Pluggakuten! Visst brukade du svara i gamla Pluggakuten?! Tänkte faktiskt häromdagen på att det var länge sedan jag såg något av den där morfar-nånting...

Då x närmar sig 1 (från höger och vänster) ökar funktionsvärdet. Då x närmar sig 3 (från höger och vänster) minskar funktionsvärdet. Hur går jag vidare sen?

Clarence skrev :
Då x närmar sig 1 (från höger och vänster) ökar funktionsvärdet. Då x närmar sig 3 (från höger och vänster) minskar funktionsvärdet. Hur går jag vidare sen?

Nej, det blev inte riktigt rätt.

Jag skulle tänkt så här: Täljaren och nämnaren är nästan lika. Utnyttja det:

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{x^{2} - 4 x + 3 + 2 x}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 4 x + 3} + \frac{2 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Oj, det blev lite fel.

Då x närmar sig 1 från vänster ökar funktionsvärdet och då x närmar sig 1 från höger minskar funktionsvärdet.

Då x närmar sig 3 från vänster minskar funktionsvärdet och då x närmar sig 3 från höger ökar funktionsvärdet.

Hej!

Om man partialbråksuppdelar funktionen så får man

$\displaystyle f(x) = 1 - \frac{1}{x-1} + \frac{3}{x-3}.$

Från detta framgår det omedelbart att funktionen har två vertikala asymptoter $x = 1$ och $x = 3$ och en horisontell asymptot $y = 1.$ Funktionens derivata

$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x-1)^2}-\frac{3}{(x-3)^2}$

är negativ på intervallet $(-\infty, a)$ och positiv på intervallet $(a,1)$ och positiv på intervallet $(1,b)$ och negativ på intervallet $(b,3)$ och negativ på intervallet $(3,\infty)$ , där talen $a$ och $b$ är derivatans två nollställen.

Albiki

Tusen tack för hjälpen Albiki, väldigt tydligt och bra beskrivet!

Svara

Visa senaste svar