Asymptoter: till vem tillhör lilla ettan när mamma/pappa skiljer sig?

Jag har problem med ALLA uppgifter som ser ut såhär:

''Rita grafen till $y = \frac{x^{2} + 2 x + 4}{2 x}$ ''.

Efter många timmar att plåga volontärer på forumet inser jag direkt att de stora $|x|$ och små $|x|$ kommer att skilja sig i den närmaste framtid. I matematisk språk var det att när x är en grad högre i täljaren får vi en snett asymptot (tror jag). Stora $|x|$ kommer att dominera för $\frac{x^{2}}{2 x}$ och små $|x|$ kommer att dominera för $\frac{24}{2 x}$ .

MEN!!

Vad händer med den lilla ettan ( $\frac{2 x}{2 x}$ =1)? Den kommer väl att ha större betydelse i områden av små $|x|$ (alltså större än 0,5, inte 0,00001...) än i områden av stora $|x|$ ? Vem kommer att bry sig om den när x=100 000, dvs när det finns bokstavligt 100 000 likadana lilla ettor?!

Blir det inte mer rimligt att den stannar kvar hos små $|x|$ ? Till exempel, för x= 0,8 ger $\frac{2}{0, 8} = 2, 5$ . Där kommer 1:an att synas?

Så frågan är, varför är asymptoten $0, 5 x + 1$ och inte bara $0, 5 x$ ?

Ett snabbt sätt att hitta sneda asymptoter är att med polynomdivision skriva om uttrycket utan gemensam nämnare. I detta fall kan vi dock skippa polynomdivisionen och endast förenkla bråket: $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{2 x} = \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{2 x}{2 x} + \frac{4}{2 x} = 0, 5 x + 1 + \frac{2}{x}$ . Den sista termen kommer att gå mot noll mycket snabbt när x växer, och räknas bort. Kvar har vi en sned asymptot på formen 0,5x+1.

Edit: det hade smugit sig in ett litet slarvfel i min förenkling.

... Och när x minskar? Den första term kommer väl att försvinna och lämna kvar 1+1/2x? Blir det inte en likadant situation?

När x går mot negativ oändlighet sker samma sak, fast med negativa värden. 0,5x går mot minus oändligheten, 1/2x går fortfarande mot noll.

Inte säkert att jag är med...

Vänta, jag ska försöka förklara bättre. Med denna metoden slipper man undersöka lika noggrant vad som händer med x, vilket sparar tid.

Uttrycket $y = \frac{x^{2} + 2 x + 4}{2 x}$ kan skrivas om till $y = \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{2 x}{2 x} + \frac{4}{2 x} = \frac{x}{2} + 1 + \frac{2}{x}$ . Allteftersom x blir större kommer termen $\frac{2}{x}$ att minska i betydelse. Om x = 100 är termens värde 0,02. Om x = 10 000 blir termens värde 0,0002. Ganska snart blir den nästintill betydelselös när x går mot oändligheten. Detta gäller även när x går mot negativ oändlighet. Om x = -100 är termens värde -0,02. Om x = -10 000 blir termens värde -0,0002. Även här blir termen i princip oviktig. Det gör att vi på det stora hela kommer att se en sned asymptot på formen $y = 0, 5 x + 1$ .

När x är nära noll kommer samma term att dominera, det är korrekt. Det är vår lodräta asymptot som är lokaliserad där x = 0.

Ok.. Det är kanske logiskt. Det är y axeln som är asymptotic och inte y axeln +1. Därför måste 1 an dra med den andra tal, dvs 0,5x.

Svara

Visa senaste svar