Asymptoter och gränsvärden

Substituera m med n+1 i täljaren. Förkorta sedan med $x^{n}$. Då ser du vad som händer när x -> plus/minus oändligheten. (Alla termer i nämnaren utom första går mot noll och alla utom de två första termerna i täljaren försvinner). Förstår inte riktigt var den där sista termen skulle komma ifrån dock...

Uppgiften kan översättas till "Visa att den rationella funktionen $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ där täljarens grad är 1 större än nämnarens grad, har en sned asymptot, och att denna asymptot är den som står i uppgiften".

Smaragdalena skrev:

Uppgiften kan översättas till "Visa att den rationella funktionen $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ där täljarens grad är 1 större än nämnarens grad, har en sned asymptot, och att denna asymptot är den som står i uppgiften".

Tips

Bryt ut xⁿ i både täljare och nämnare. Då har du en faktor a_mx plus en konstantterm i täljaren som INTE försvinner om x går mot

oändligheten, och en faktor 1 i nämnaren som inte försvinner (eftersom koefficienten för xⁿ-termen i nämnaren är 1).

Tack för jättebra förklaring! Med m = n+1 trodde jag först de menade m-värdet i y = kx +m och blev därför väldigt förvirrad. Men kortfattat så handlar det då alltså om att täljaren är en grad högre än nämnaren och täljaren kommer då att gå mot oändligheten när x gör det (?). Detta bevisar då alltså att det finns en sned asymptot. $\frac{a_m{x}^{n+1}}{x^n} \Rightarrow \frac{x^{n+1}\left(a_m\right)}{x^n\left(1\right)} \Rightarrow \frac{x\left(a_m\right)}{1}$

Rätta mig gärna igen om jag tänker helt galet.

Hej!

Uppgift c. Du har funktionen

    $f(x) = \frac{a_{n+1}x^{n+1}+a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0}{x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0}$

som är definierad för alla tal $x$ sådana att nämnaren inte är lika med noll (eftersom det är förbjudet att dividera med noll). Dividera täljare och nämnare med talet $x^n$ så att funktionen kan skrivas

    $f(x) = \frac{a_{n+1}x+a_n+a_{n-1}/x+\cdots+a_0/x^{n}}{1+b_{n-1}/x+\cdots+b_0/x^{n}}.$

Om $x$ är ett stort positivt tal (nära "oändligheten") så är $a_{n-1}/x \approx 0$ och ... och $a_0/x^{n}\approx 0$ och $b_{n-1}/x \approx 0$ och ... och $b_0/x^{n}\approx 0$ vilket betyder att funktionen

    $f(x) \approx \frac{a_{n+1}x+a_n+0+\cdots+0}{1+0+\cdots+0} = a_{n+1}x+a_{n}$.

Detta visar att för stora positiva tal $x$ så är grafen till funktionen $f(x)$ ungefär samma som en rät linje (man säger att linjen är en sned asymptot till funktionen) vars ekvation är $y=kx+m$ där $k=a_{n+1}$ och $m=a_{n}$.

Albiki skrev:

Hej!

Uppgift c. Du har funktionen

    $f(x) = \frac{a_{n+1}x^{n+1}+a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0}{x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0}$

som är definierad för alla tal $x$ sådana att nämnaren inte är lika med noll (eftersom det är förbjudet att dividera med noll). Dividera täljare och nämnare med talet $x^n$ så att funktionen kan skrivas

    $f(x) = \frac{a_{n+1}x+a_n+a_{n-1}/x+\cdots+a_0/x^{n}}{1+b_{n-1}/x+\cdots+b_0/x^{n}}.$

Om $x$ är ett stort positivt tal (nära "oändligheten") så är $a_{n-1}/x \approx 0$ och ... och $a_0/x^{n}\approx 0$ och $b_{n-1}/x \approx 0$ och ... och $b_0/x^{n}\approx 0$ vilket betyder att funktionen

    $f(x) \approx \frac{a_{n+1}x+a_n+0+\cdots+0}{1+0+\cdots+0} = a_{n+1}x+a_{n}$.

Detta visar att för stora positiva tal $x$ så är grafen till funktionen $f(x)$ ungefär samma som en rät linje (man säger att linjen är en sned asymptot till funktionen) vars ekvation är $y=kx+m$ där $k=a_{n+1}$ och $m=a_{n}$.

Tusen tack!

abcdefg skrev:

Smaragdalena skrev:

Uppgiften kan översättas till "Visa att den rationella funktionen $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ där täljarens grad är 1 större än nämnarens grad, har en sned asymptot, och att denna asymptot är den som står i uppgiften".

Tips

Bryt ut xⁿ i både täljare och nämnare. Då har du en faktor a_mx plus en konstantterm i täljaren som INTE försvinner om x går mot

oändligheten, och en faktor 1 i nämnaren som inte försvinner (eftersom koefficienten för xⁿ-termen i nämnaren är 1).

Tack för jättebra förklaring! Med m = n+1 trodde jag först de menade m-värdet i y = kx +m och blev därför väldigt förvirrad. Men kortfattat så handlar det då alltså om att täljaren är en grad högre än nämnaren och täljaren kommer då att gå mot oändligheten när x gör det (?). Detta bevisar då alltså att det finns en sned asymptot. $\frac{a_m{x}^{n+1}}{x^n} \Rightarrow \frac{x^{n+1}\left(a_m\right)}{x^n\left(1\right)} \Rightarrow \frac{x\left(a_m\right)}{1}$

Rätta mig gärna igen om jag tänker helt galet.

(kommentar till min fetning i citatet)

Varför trodde du det? I uppgiften visar man tydligt att m är den högsta potensen av x i täljaren och n är den högsta potensen av x i nämnaren.

Läsförståelse är t o m viktigare än att rita!

Att du tänker på m i kx+m visar att du kommer ihåg ekvationen för en rät linje, vilket är bra, men det är så ont om bokstäver att de flesta bokstäver används på olika sätt i olika sammanhang. Viss konsekvens finns i alla fall: gradtal får ofta heta n, och sedan m om man behöver flera. 

 Ingen som tycker det är konstigt med den tredje termen? :)

Man skulle ju visa $y=a_{n+1}x+a_{n}-a_{n+1}b_{n-1}$

emilg skrev:

 Ingen som tycker det är konstigt med den tredje termen? :)

Man skulle ju visa $y=a_{n+1}x+a_{n}-a_{n+1}b_{n-1}$

Haha! Så pass konstigt att alla ignorerade den fullständigt. Vilket märkligt tryckfel.

emilg skrev:

 Ingen som tycker det är konstigt med den tredje termen? :)

Man skulle ju visa $y=a_{n+1}x+a_{n}-a_{n+1}b_{n-1}$

Jo. Se vad jag har skrivit  i spoilern.

Skrev det här inlägget i går kväll, men det försvann innan det blev publicerat.