10 svar
305 visningar
abcdefg behöver inte mer hjälp
abcdefg 274
Postad: 24 jul 2019 20:21

Asymptoter och gränsvärden

Hej!

Jag förstår inte riktigt fråga c. Jag blir helt förvirrad av alla nedsänkta siffror och variabler. Jag vet dock hur jag jag räknar ut om en funktion har en sned asymptot eller inte, men svårt om jag inte har ett konkret exempel. Hur ska jag tänka? Kan man förenkla nedan på något lättförståeligt sätt? 

emilg 478
Postad: 24 jul 2019 20:31

Substituera m med n+1 i täljaren. Förkorta sedan med xnx^{n}. Då ser du vad som händer när x -> plus/minus oändligheten. (Alla termer i nämnaren utom första går mot noll och alla utom de två första termerna i täljaren försvinner). Förstår inte riktigt var den där sista termen skulle komma ifrån dock...

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 24 jul 2019 20:31

Uppgiften kan översättas till "Visa att den rationella funktionen f(x)=p(x)q(x)f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} där täljarens grad är 1 större än nämnarens grad, har en sned asymptot, och att denna asymptot är den som står i uppgiften".

Tips

Bryt ut xn i både täljare och nämnare. Då har du en faktor amx plus en konstantterm i täljaren som INTE försvinner om x går mot oändligheten, och en faktor 1 i nämnaren som inte försvinner (eftersom koefficienten för xn-termen i nämnaren är 1).

abcdefg 274
Postad: 24 jul 2019 21:13
Smaragdalena skrev:

Uppgiften kan översättas till "Visa att den rationella funktionen f(x)=p(x)q(x)f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} där täljarens grad är 1 större än nämnarens grad, har en sned asymptot, och att denna asymptot är den som står i uppgiften".

Tips

Bryt ut xn i både täljare och nämnare. Då har du en faktor amx plus en konstantterm i täljaren som INTE försvinner om x går mot

oändligheten, och en faktor 1 i nämnaren som inte försvinner (eftersom koefficienten för xn-termen i nämnaren är 1).

Tack för jättebra förklaring! Med m = n+1 trodde jag först de menade m-värdet i y = kx +m och blev därför väldigt förvirrad. Men kortfattat så handlar det då alltså om att täljaren är en grad högre än nämnaren och täljaren kommer då att gå mot oändligheten när x gör det (?). Detta bevisar då alltså att det finns en sned asymptot. amxn+1xn xn+1amxn1 xam1 

Rätta mig gärna igen om jag tänker helt galet.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 24 jul 2019 21:49

Hej!

Uppgift c. Du har funktionen

    f(x)=an+1xn+1+anxn+an-1xn-1++a0xn+bn-1xn-1++b0f(x) = \frac{a_{n+1}x^{n+1}+a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0}{x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0}

som är definierad för alla tal xx sådana att nämnaren inte är lika med noll (eftersom det är förbjudet att dividera med noll). Dividera täljare och nämnare med talet xnx^n så att funktionen kan skrivas

    f(x)=an+1x+an+an-1/x++a0/xn1+bn-1/x++b0/xn.f(x) = \frac{a_{n+1}x+a_n+a_{n-1}/x+\cdots+a_0/x^{n}}{1+b_{n-1}/x+\cdots+b_0/x^{n}}.

Om xx är ett stort positivt tal (nära "oändligheten") så är an-1/x0a_{n-1}/x \approx 0 och ... och a0/xn0a_0/x^{n}\approx 0 och bn-1/x0b_{n-1}/x \approx 0 och ... och b0/xn0b_0/x^{n}\approx 0 vilket betyder att funktionen

    f(x)an+1x+an+0++01+0++0=an+1x+anf(x) \approx \frac{a_{n+1}x+a_n+0+\cdots+0}{1+0+\cdots+0} = a_{n+1}x+a_{n}.

Detta visar att för stora positiva tal xx så är grafen till funktionen f(x)f(x) ungefär samma som en rät linje (man säger att linjen är en sned asymptot till funktionen) vars ekvation är y=kx+my=kx+m där k=an+1k=a_{n+1} och m=anm=a_{n}.

abcdefg 274
Postad: 25 jul 2019 10:40
Albiki skrev:

Hej!

Uppgift c. Du har funktionen

    f(x)=an+1xn+1+anxn+an-1xn-1++a0xn+bn-1xn-1++b0f(x) = \frac{a_{n+1}x^{n+1}+a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0}{x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0}

som är definierad för alla tal xx sådana att nämnaren inte är lika med noll (eftersom det är förbjudet att dividera med noll). Dividera täljare och nämnare med talet xnx^n så att funktionen kan skrivas

    f(x)=an+1x+an+an-1/x++a0/xn1+bn-1/x++b0/xn.f(x) = \frac{a_{n+1}x+a_n+a_{n-1}/x+\cdots+a_0/x^{n}}{1+b_{n-1}/x+\cdots+b_0/x^{n}}.

Om xx är ett stort positivt tal (nära "oändligheten") så är an-1/x0a_{n-1}/x \approx 0 och ... och a0/xn0a_0/x^{n}\approx 0 och bn-1/x0b_{n-1}/x \approx 0 och ... och b0/xn0b_0/x^{n}\approx 0 vilket betyder att funktionen

    f(x)an+1x+an+0++01+0++0=an+1x+anf(x) \approx \frac{a_{n+1}x+a_n+0+\cdots+0}{1+0+\cdots+0} = a_{n+1}x+a_{n}.

Detta visar att för stora positiva tal xx så är grafen till funktionen f(x)f(x) ungefär samma som en rät linje (man säger att linjen är en sned asymptot till funktionen) vars ekvation är y=kx+my=kx+m där k=an+1k=a_{n+1} och m=anm=a_{n}.

Tusen tack!

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 25 jul 2019 11:43
abcdefg skrev:
Smaragdalena skrev:

Uppgiften kan översättas till "Visa att den rationella funktionen f(x)=p(x)q(x)f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} där täljarens grad är 1 större än nämnarens grad, har en sned asymptot, och att denna asymptot är den som står i uppgiften".

Tips

Bryt ut xn i både täljare och nämnare. Då har du en faktor amx plus en konstantterm i täljaren som INTE försvinner om x går mot

oändligheten, och en faktor 1 i nämnaren som inte försvinner (eftersom koefficienten för xn-termen i nämnaren är 1).

Tack för jättebra förklaring! Med m = n+1 trodde jag först de menade m-värdet i y = kx +m och blev därför väldigt förvirrad. Men kortfattat så handlar det då alltså om att täljaren är en grad högre än nämnaren och täljaren kommer då att gå mot oändligheten när x gör det (?). Detta bevisar då alltså att det finns en sned asymptot. amxn+1xn xn+1amxn1 xam1 

Rätta mig gärna igen om jag tänker helt galet.

(kommentar till min fetning i citatet)

Varför trodde du det? I uppgiften visar man tydligt att m är den högsta potensen av x i täljaren och n är den högsta potensen av x i nämnaren.

Läsförståelse är t o m viktigare än att rita!

Laguna Online 30239
Postad: 25 jul 2019 12:53

Att du tänker på m i kx+m visar att du kommer ihåg ekvationen för en rät linje, vilket är bra, men det är så ont om bokstäver att de flesta bokstäver används på olika sätt i olika sammanhang. Viss konsekvens finns i alla fall: gradtal får ofta heta n, och sedan m om man behöver flera. 

emilg 478
Postad: 25 jul 2019 22:41

 Ingen som tycker det är konstigt med den tredje termen? :)

Man skulle ju visa y=an+1x+an-an+1bn-1y=a_{n+1}x+a_{n}-a_{n+1}b_{n-1}

SaintVenant 3916
Postad: 26 jul 2019 03:09
emilg skrev:

 Ingen som tycker det är konstigt med den tredje termen? :)

Man skulle ju visa y=an+1x+an-an+1bn-1y=a_{n+1}x+a_{n}-a_{n+1}b_{n-1}

Haha! Så pass konstigt att alla ignorerade den fullständigt. Vilket märkligt tryckfel.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 26 jul 2019 09:32
emilg skrev:

 Ingen som tycker det är konstigt med den tredje termen? :)

Man skulle ju visa y=an+1x+an-an+1bn-1y=a_{n+1}x+a_{n}-a_{n+1}b_{n-1}

Jo. Se vad jag har skrivit  i spoilern.

Skrev det här inlägget i går kväll, men det försvann innan det blev publicerat.

Svara
Close