Asymptoter (Liber M4)

Om vi tar a) som exempel, titta på termen 4/x. Precis som du skrev om 1/(x-2), finns det ett värde på x som ger noll i nämnaren. Det är en asymptot. y=x är en sned asymptot. De är klurigare att hitta, men titta på vad som händer om x blir väldigt stort eller väldigt litet. Om x=10 blir f(10)=10+0,4=10,4. Om x=100 blir f(100)=100+0,04=100,04. Vi kan se att termen 4/x spelar ut sin roll när x går mot oändligheten. Det spelar i princip ingen roll om vi har värdet 1000000 eller 1000000,0000004. Därför kommer grafen att gå mot att se ut som y=x, men eftersom den där 0,0000004-termen trots allt har ett värde kommer f(x) aldrig att sammanfalla med y=x.

Vi tittar på b) också. Finns det någon term som är strikt odefinierad för något x-värde? Vad händer med grafen om x går mot ±oändligheten?

Varför vill du inte rita? Det verkar vara det absolut enklaste sätter, tycker jag.

Annars kan du tänka att om x är stort (typ miljoner), är x + 4/x ungefär detsamma som x, så då är y=x, och om x är väldigt litet (typ 0,0000000000001) så är x + 4/x ungefär lika med 4/x, och det går mot oändligheten när x går mot 0. Sedan får man tänka ett varv till för de negativa talen.

Det är alltid bra att rita upp problemet ändå. Då skulle du se att det inte alltid finns en vertikal och en horisontell asymptot, utan funktionen kan vara på väg i en annan riktning. Sedan har du rätt i att asymptoterna uppträder, där variablerna går mot oändligheten. Om du alltså sätter in dels små, dels stora x-värden i funktionen, så ser du rätt snart vartåt det går. Dvs. den första funktionen närmar sig y-axeln, då x närmar sig noll (4/x går mot oändligheten då) men följer y=x för stora x (både positiva och negativa) (4/x går mot noll då).

För att få värdemängden behöver du räkna ut minimi- (positiva delen av funktionen) och maximivärdet (negativa delen) för y, sedan vet du att y går mot oändligheten, så y>ymin och y<ymax beskriver värdemängden.

mirou skrev :

Hej,
Jag skulle uppskatta lite hjälp med hur man kan beräkna asymptoter utan att identifiera dem grafiskt. Kan ta libers M4 bok som exempel.

2336, Bestäm asymptoter och värdemängd

a) f(x) = x + 4 / x

b) f(x) = 2x - 1 / x

Tar a) som exempel. Som jag uppfattat det så är term 1 (x) detsamma som den vertikala asymptoten och 4/x den horisontella.

Alltså jag har fattat att det handlar om att x och y går mot oändligheten när de närmar sig värden som inte är definierbara, t.ex. 1 / x - 2 så kan x inte vara 2 för då blir det 1 / 0, osv.

Men verkar som man ska kunna se utifrån uppgiften att det där är en sån asymptot osv.

I facit står

a) Asymptoter är y = x och y-axeln.

b) Asymptoter är y = 2x och y-axeln

 

Jag är förmodligen korkad men jag förstår inte hur blir det just dessa asymptoter? Och hur får man ut värdemängden ur det här? Måste man ex. ställa upp en lista på tal för x och y för att se var det bär?

För en funktion y = f(x) kan det finnas tre olika sorters asymptoter.

Vertikala asymptoter. Dessa hittar man då funktionsvärdet går mot oändligheten.

Till exempel en term vars nämnare går mot 0. Detta har du identifierat ovan, i första exemplet är det då x = 0 (y-axeln).

Om x går mot 0 från den negativa sidan så går f(x) mot minus oändligheten eftersom termen 4/x då går mot minus oändligheten och den första termen x då blir försumbar.

Om x går mot 0 från den positiva sidan så går f(x) mot plus oändligheten eftersom termen 4/x då går mot plus oändligheten och den första termen x då blir försumbar. 

Horisontella och sneda asymptoter. Om det finns några horisontella eller sneda asymptoter så återfinns de då x går mot plus eller minus oändligheten. 

I ditt första exempel f(x) = x + 4/x så kommer f(x) att gå mot x då x går mot plus oändligheten, eftersom termen 4/x då blir försumbar.

Samma sak gäller då x går mot minus oändligheten.

Har liksom fått för mig att man ska kunna räkna ut asymptoter rent matematisikt utan att ta hjälp av grafer. Tänker om det rör sig om provfrågor där miniräknare inte är tillåtna.

I uppgiften 2335 har man räknat ut gränsvärdet på x + 1 / x - 1 som då gett svaret 1, och asymptot x = 1 och y = 1.

Jag kanske försvårar det för mig själv genom att hålla mig från räknare / grafräknare? Eller att ens skissa upp grafen?

I ett exempel från Matteboken.se
http://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/nationella-prov/nationella-provet-vt13/uppgift-11

Omvandlas talet så att x blir ensamt, vilket gör att man kan se vilka värden som y inte är definierat för, på samma sätt som x. Är det på så sätt man ska jobba för att hitta horisontell asymptot? Eller fungerar det bara i vissa fall?

Du behöver inte nödvändigtvis en grafräknare för att rita upp enkla funktioner, bara penna och papper, gärna rutat.

mirou skrev :

Har liksom fått för mig att man ska kunna räkna ut asymptoter rent matematisikt utan att ta hjälp av grafer. Tänker om det rör sig om provfrågor där miniräknare inte är tillåtna.

I uppgiften 2335 har man räknat ut gränsvärdet på x + 1 / x - 1 som då gett svaret 1, och asymptot x = 1 och y = 1.

Jag kanske försvårar det för mig själv genom att hålla mig från räknare / grafräknare? Eller att ens skissa upp grafen?

I ett exempel från Matteboken.se
http://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/nationella-prov/nationella-provet-vt13/uppgift-11

Omvandlas talet så att x blir ensamt, vilket gör att man kan se vilka värden som y inte är definierat för, på samma sätt som x. Är det på så sätt man ska jobba för att hitta horisontell asymptot? Eller fungerar det bara i vissa fall?

Det går absolut att hitta asymptoter utan att skissa upp grafen, men det är ett väldigt lätt sätt att göra det. Yngve gav dig bra råd om hur man hittar asymptoter. Vad det gäller vågräta asymptoter (som den i det exempel du tar upp) hittas de lättast genom att titta på gränsvärden.

Dividera alla termer med den dominerande faktorn (x). Då får vi uttryck 2. Låt sedan x gå mot oändligheten och vi får uttryck 3, som blir 1. Alltså kommer y att gå mot 1 när x går mot oändligheten.

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}\right) \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{1+0}{1-0}\right) \end{gathered}$$ 

Tack så mycket för svar. Det är fortfarande lite väl rörigt i huvudet, är ju enklare att visualisera det på grafräknare eller i skissad form. Men i de fall man saknar grafräknare, är det inte väldigt svårt att skissa en graf med sned asymptot? Eller handlar det bara om att vara vän med sin linjal?

Kruxet blir ju när man inte har räknare till hands och det blir väldigt knepiga bråk som ligger bortom huvudräkning...

Och går det alltid att använda gränsvärde för att hitta ev. vågräta asymptoter, förutsatt att det är ett bråk?

Nu spånar jag bara men tog a)-uppgiften och fick då som exempel

4/x / x/x = 4/0 / 1 = 0 / 1 = 0

Kan man se den andra termen alltid är den som genererar en ev sned/vågrät asymptot?

Det är ungefär lika svårt att rita en sned asymptot som det är att rita vilken annan rät linje som helst. I den första uppgiften kom vi fram till att funktionen går mot f(x) = x när x går mot oändligheten.

Man kan inte alltid säga att den andra termen alltid gör något särskilt - man kan ju ändra ordnigen mellan termerna hur man vill!