Asymptoter arctan

Jag har frågor om en uppgift där en måste undersöka eventuella asymptoter till $f\left(x\right)=arc\tan \frac{x^2}{x-1}$

(Jag påminner till mig-själv-som-kommer-att-läsa-detta-tråd-om-en-vecka-att: $\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{lim }\tan x=\infty$ och därför $\underset{x\to \infty }{lim }arct\mathrm{an}x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$)

1. Man ser att det blir problem vid $x=1$

$\underset{x\to 1^{-}}{lim} arc\tan \frac{x^2}{x-1}=arc\tan \frac{1}{0^{-}}=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

och 

$\underset{x\to 1^{+}}{lim} arc\tan \frac{x^2}{x-1}=arc\tan \frac{1}{0^{+}}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

2. Enligt boken måste man också undersöka a) limx→±∞ f(x) b) $\frac{f\left(x\right)}{x}=k$ c) $f(x) -kx$.

Att c) ser misstänksamt ut som alltid noll  ($f\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)}{x}x=0$) fråga inte mig varför 😳!

Men men

2a) $\underset{x\to \infty }{lim} arc\tan \frac{x^2}{x-1}= \underset{x\to \infty }{lim}arc\tan \frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}=\underset{x\to \infty }{lim}arc\tan \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \approx 0}}= \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

$\underset{x\to -\infty }{lim} arc\tan \frac{x^2}{x-1}= \underset{x\to \infty }{lim}arc\tan \frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{-\infty }-\frac{1}{{\infty }^2}}}=\underset{x\to -\infty }{lim}arc\tan \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \approx 0^{-}}}= -\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Så vi har en vågrätt asymptot.

b) $\frac{f\left(x\right)}{x}=k$

$\underset{x\to \infty }{lim} \frac{1}{x}arc\tan \frac{x^2}{x-1}=0·\frac{\mathrm{\pi }}{2}=0$

c) $f(x) -kx$.

$\pm \frac{\mathrm{\pi }}{2}-0=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Så enligt boken detta bör vara en asymptoter $y=\frac{\mathrm{\pi }}{2} och y=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Frågor:

1. Duger lösningen?

2. Det känns att jag har räknat tre gånger samma asymptoter (... två gånger för mycket!). Måste man göra alla dessa operationer?

3. Hur kan jag rita detta funktion utan Desmos? Jag ser att det händer saker mellan 0 och 1, men varför?