Asymptoter

Visa hur du har gjort polynomdivisionen!

ja, och då får jag (x + 5) + 10/(x - 2). Förkortar jag sista termen med x och därefter låter x gå mot oändligheten går den mot noll. Då blir asymptoten y = x + 5 vilket jag kan ser grafiskt stämmer.

I första fallet, fall 1, görs först en polynomdivision, uttrycket förkortas med x till sist låter vi x gå mot oändligheten. I andra fallet, fall 2, förkortar vi uttrycket samt låter x gå mot oändligheten. Vi börjar med att hitta asymptoten i fall 1

$y =\frac{x^2 + 3x}{x - 2} =\left\{utför polynomdivision\right\} = x + \frac{5x}{x - 2} = x + \frac{5x}{x(1 - {\displaystyle \frac{2}{x}})}=\left\{förkorta bort x\right\} =x + \frac{5}{1 - {\displaystyle \frac{2}{x}}}$.

Nu har vi delat upp funktionen y i två termer. Den första termen är x och den andra termen är en konstant delat på någon funktion Q(x). Låter vi nu x gå mot oändligheten vet vi att x beter sig som ett polynom av grad 1, konstanten är konstant och vi ser att Q(x) går mot 1. Sätter vi in detta ser vi att asymptoten till y är

$y_{asymptot}\hspace{0.17em}= x + 5$.

I fall 2 får vi efter att vi förkortat med x

$y = \frac{x + 3}{1 - {\displaystyle \frac{2}{x}}}$.

Nu har vi en term med en täljare x + 3 och nämnare $1 - \frac{2}{x}$, lägg märke till att nämnaren är funktion Q(x) från fall 1. Om vi nu låter x gå mot oändligheten vet vi vad som händer med Q(x), Q(x) går mot ett,  och vi vet att x + 3 går mot oändligheten. Sätter vi in detta får vi

$y_{asymptot}\hspace{0.17em}= \frac{\infty }{1}=\infty$.

Detta är helt klart inte en asymptot till y när x går mot oändligheten.

Tusen Tack, jag förstår :)