Asymptoter

Det stämmer, det blir ingen vertikal asymptot, men det finns fler sorters asymptoter! Vad händer om x blir väldigt stort (positivt eller negativt)?

Om x blir väldigt stor går gränsvärdet  mot oändligheten  är det svaret på frågan?

Nej, det går inte mot oändligheten utan närmar sig ett specifikt värde.

Det blir enklare om du skriver om täljaren som (2x²+2)-6, skriver funktionen som två bråk och förenklar det första.

Vi ska skriva om bråket på det här sättet istället. 
((2x²+2)-6)/(x²+1)  ? Hur ska jag tänka? Jag hänger inte riktigt med på din förklaring. 

Du kan göra en polynomdivision istället, det funkar också men är mycket besvärligare.

Är du med på att 2x²+2-6 = 2x²-4? Är du med på att (2x²+2)/(x²+1) = 2 och att -4/(x²+1) går mot 0 när x går mot oändligheten (positiv eller negativ)?

Så långt är jag med på 

” 2x2+2-6 = 2x2-4? Är du med på att (2x2+2)/(x2+1) = 2 ”  

Men det du skrev efter hängde jag ej med på , hur kom du fram till uttrycket 

-4/(x2+1)

Är du med på att -4 delat med nånting väldigt stort går mot 0 när "nånting väldigt stort" går mot oändligheten?

Ja det är jag med på (så långt är jag med)

Idén är skriva om uttrycket så att varje term bara har x i antingen nämnaren eller i täljaren (eller inget x):

$$\begin{gathered} \frac{2x^2-4}{x^2+1}=\frac{2x^2+2-6}{x^2+1}= \\ \frac{2x^2+2}{x^2+1}-\frac{6}{x^2+1}= \\ \frac{2(x^2+1)}{x^2+1}-\frac{6}{x^2+1}= \\ 2-\frac{6}{x^2+1} \end{gathered}$$

Nu är det enkelt att se vad som händer då x går mot minus eller plus oändligheten.

Hur förenklade du i det här steget? Jag hänger inte med på din förenkling där jag har markerat svart 

Både täljare och nämnare innehåller faktorn (x^2+1) så den förkortas bort i vänstra termen.

Jaha ok. Men Om vi nu tittar på uttrycket 

2-(6/(x²+1))  

Hur ska jag kunna hitta gränsvärdet och asymptot? Hur ska man tänka i sån typ av uppgift 

2 påverkas inte av x så det är konstant

Bråk med konstant täljare går mot 0 när nämnaren går mot oändligheten.
Prova att plotta grafen för bråket eller att sätta in olika x, till exempel x=1, x=10, x=1000, x=10^12 i bråket 6/(x^2+1). Du kommer att se att ett stort x gör bråket väldigt litet. Eftersom nämnaren innehåller x^2 gäller det även då x går mot minus oändligheten.

Menar du alltså att gränsvärdet i uttrycket 

2-((6/x²+1))

Går mot oändligheten för om vi tittar på nämnaren ”x²+1”  så ser vi att x² kan ge oss ett stort tal , då kommer 6/(x²+1) att gå mot 0 ..? 

Du måste ha parenteser runt nämnaren, annars betyder uttrycket inte det du vill att det skall betyda!

Ja,

då x går mot plus eller minus oändligheten går 2 - (6/(x^2+1)) mot 2
eftersom 6/(x^2+1) går mot 0
eftersom nämnaren x^2+1 går mot oändligheten.

Nu hängde jag inte me på vad du menar 

Är du med på att $\frac{6}{x^2+1}$ blir väldigt litet om x är jättestort? Stoppa in olika x och prova annars (inklusive stora x).

Om det känns klart så betyder det att bråket går mot 0 då x går mot oändligheten.

Och då måste 2-((6/x^2+1)) gå mot 2 eftersom 2 är konstant. Är du med på det?

Så här ser -6/(x^2+1) ut:

Okej gränsvärdet går mot 2 . Men vad är asymptoten?

2 är en vågrät asymptot.

Programmeraren skrev:

2 är en vågrät asymptot.

Hur vet man att det är en vågrät asymptot?

Eftersom funktionen går mot 2. f(x)=2 är en vågrät linje.

När jag testar med olika värden på x så får jag att asymptoten är 2. För 2-0=2 . Men jag har några frågor : 

1. Vad är skillnaden mellan en asymptot och gränsvärde? 
2. hur kan man veta ifall en asymptot är vågrät eller horisontellt  

En asymptot kan vara en vågrät eller lodrät linje.

För vågräta är den samma som gränsvärdet för f(x) då x går mot oändligheten.

För lodräta går f(x) mot oändligheten i asymptoten x=a

Men den kan vara en funktion också, t ex har  f(x)=x + 1/x asymptoten x, alltså en sned asymptot. Då finns inget gränsvärde.

Programmeraren skrev:

En asymptot kan vara en vågrät eller lodrät linje.

 

jag hängde inte med på det här 

”

För vågräta är den samma som gränsvärdet för f(x) då x går mot oändligheten.

För lodräta går f(x) mot oändligheten i asymptoten x=a

Men den kan vara en funktion också, t ex har  f(x)=x + 1/x asymptoten x, alltså en sned asymptot. Då finns inget gränsvärde.”

Det är lite för omfattande att skriva "allt" om asymptoter, nog bättre att läsa i boken och kolla exempel.

Bra grund: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/skissa-grafer-och-asymtoter/asymptoter

Jag har läst igenom och förstår lite bättre nu. Men jag undrar fortfarande hur jag kan hitta den horisontella Och vertikala asymptoten. I det här fallet ser jag inte att det finns något värde på x som gör att funktionen ej är definierat. Vad betyder det? Vad är asymptoten isåfall?

Vi har enbart en vågrät asymptot som är 2. Visst är det här rätta svaret ? Alltså y=2

Ja, det stämmer. "lim x->+/-oändligheten f(x) = 2"