asymptoter

Kan du skriva f(x) på formen f(x) = kx + m + h(x), där h(x) är en funktion som går mot noll då x går mot (+/-) oändlighet så är y = kx + m en asymptot då x går mot (+/-) oändlighet.

f(x) = x - $\mathrm{\pi }/2$ + $\mathrm{\pi }/2$ - arctan(x) + 1/(x-1).

h(x) = π/2 - arctan(x) + 1/(x-1) går mot noll då x -> $\infty$. Således är y = x - $\mathrm{\pi }/2$ asymptot då x -> $\infty$.

Fallet x -> -$\infty$ lämnas som övning.

Okej, jag förstår nästan vad du har gjort. Det enda jag inte fattar är vart du har fått $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ ifrån.... Förstår att du har skrivit f(x) som f(x)=kx+m+h(x). Men inte riktigt hur...

Det är känt att arctan(x) går mot $\pi /2$ då x -> $\infty$. Och arctan(x) går mot -$\pi /2$ då x -> -$\infty$.

Ja juste, men du har fortfarande skrivit $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}$. Gör man det för att det är i det intervallet som arctan x har sin defmängd?

Nej, arctan(x) är definierad på hela $\mathrm{ℝ}$.

Jag vet att pi/2 - arctan(x) går mot noll då x går mot oändlighet, eftersom arctan(x) går mot pi/2. Så om jag lägger till pi/2 så att jag får något som går mot noll, men då måste jag även dra bort pi/2 igen för att det skall vara OK. Det är ett standardtrick. Lägg till något och dra bort det igen. Det är nästan löjligt hur ofta det tricket kan användas.

Sorry, menade givetvis värdemängd.

Jaha okej, men då förstår jag. Det är bara ett trick med andra ord. Men det ger ju då att när $x\to -\infty$ blir y=x+$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ för då blir 

$\frac{-\mathrm{\pi }}{2}-arc\tan \left(x\right)+\frac{1}{x-1}$ noll.

ilovechocolate skrev:

Sorry, menade givetvis värdemängd.

Jaha okej, men då förstår jag. Det är bara ett trick med andra ord. Men det ger ju då att när $x\to -\infty$ blir y=x+$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ för då blir 

$\frac{-\mathrm{\pi }}{2}-arc\tan \left(x\right)+\frac{1}{x-1}$ noll.

Jepp.