Asymptot, vad är det?

En asymptot är en linje som en funktion närmar sig (tekniskt sett kan det vara en enkel kurva också, men linjer är vanligast). Om vi har en funktion med värdetabellen nedan: 

$\begin{array}{cc}x& f\left(x\right)\\ 0& 2\\ 1& -1\\ 2& 7\\ 10& 4\\ 100& 9\\ 1000& 9,5\\ 10 000& 9,6\\ 20 000& 9,7\\ 50 000& 9,8\\ 100 000& 9,9\\ 500 000& 9,99\\ 1 000 000& 9,9995\\ 5 000 000& 9,9999\\ 10 000 000& 9,99999\end{array}$

Har denna funktion asymptoten $y=10$, eftersom den närmar sig $y=10$. En funktion kan även ha en asymptot kring en viss, icke-oändlig punkt. Exempelvis har $f(x)=\frac{1}{x}$ en lodrät asymptot då $x=0$. 

Du har helt rätt (Nästan. Du menar nog inte för små värden, utan du menar för värden nära noll. Eller hur?) .

Jag skulle säga att asymptoterna på a är $y=-4x$ då $x\to \pm \infty$, och $y=\frac{5}{x}$ då $x\to 0$

Hur blir det med b) då?

offan123 skrev:

Hur blir det med b) då?

Har du något förslag? För vilka x händer det konstiga grejer?

Stora värden på x ger 4 för y, och små x gör att det blir 4 minus ett stort tal

Ofta är det intressant att undersöka x för vilka nämnare i funktionen närmar sig noll. Kan du se för vilka x det händer?

Vet inte hur.

Vad händer med funktionsvärdet när x närmar sig 1?

Det blir ett väldigt litet tal så hela kvoten blir stor då?

Ja, vilken del av funktion är alltså bestämmande när x går mot 1?

offan123 skrev:

Det blir ett väldigt litet tal så hela kvoten blir stor då?

Tänk på att du får två fall, ett där $x$ närmar sig $1$ uppifrån och ett där $x$ närmar sig $1$ underifrån.

-10/x-1 är den som bestämmer när x går mot 1?

offan123 skrev:

-10/x-1 är den som bestämmer när x går mot 1?

Ja. Nu har du identifierat det asymptotiska  beteendet på funktionerna i dessa områden. Som Smutstvätt påpekade, kanske det vanligaste (iallafall i matematik) är att asymptoten definieras som en linje. Vilken linje blir det om en funktions nämnare går mot noll vid ett visst x-värde? (Läs smutstvätts kommentar ovan).