Asymptot

För att beräkna den sneda asymptoten till $f (x)$ $\frac{x + 1}{x - 1} e^{2 - \frac{1}{x}}$

så tänkte jag använda $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x}$ för att bestämma om sneda asymptoter existerar. $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x + 1}{x - 1} e^{2 - \frac{1}{x}}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) e^{2 - \frac{1}{x}}}{(x - 1) x}$ $= \frac{e^{2}}{\infty}$ =0

$\lim_{x \to - \infty} \frac{e^{2}}{- \infty} = 0$ . Sneda asymptoter skrivs på formen y=kx+m där k utgörs av det beräknade gränsvärdet, men om k=0 i detta fall så kvarstår att en potentiell sned asymptot är i form av y=m (som ju borde vara en horisontell asymptot?). Jag antog därför att funktionen inte har någon sned asymptot, men när man kollar på grafen så verkar det som att det bör finnas en sned asymptot med ett negativt k. Vad är det jag har missat?

Jag skrev [(1+1/x) / (1–1/x] e^(2–1/x)

Då ser man genast att gränsvärdet är e^2 när x går mot ±oändl. dvs horisontell asymptot.

I så fall ser jag inget utrymme för sneda asymptoter (som ju är på formen y = kx+m med k skilt från noll).

När x går mot 0 och 1 händer visserligen grejor, men handlar det om asymptoter måste de vara lodräta.

Om x > 0 går mot noll så är f < 0 och går mot noll, om x < 0 går mot 0 så går f mot –oändl, dvs x = 0 är asymptot.

Om x går mot ±1 så går f mot ±oändl. ; x = 1 är asymptot.

Allt enligt figuren vad jag ser. Tarmen ned åt höger från origo närmar sig ingen sned linje, den faller alltmer lodrätt när x närmar sig 1.

Okej förstår, tack för hjälpen! Nu vet jag inte om jag borde öppna en ny tråd, det handlar om samma uppgift men om extrempunkter. När jag undersökte det algebraiskt undersökte jag f'(x)=0 och fann att f'(x) inte kan bli 0 och att f'(x) är avtagande för alla x, men på grafen ser man ju att den är växande för 0 $< x <$ 1, jag vet dock inte riktigt huruvida det går att säga om grafen har några extrempunkter utifrån bilden. Hur kan jag ta mig vidare?

Nej f avtar för 0 < x < 1 och extrempunkter saknas.

Om man definierar f(0) som 0 så blir origo en maxpunkt, mem som det står är f odefinierat för x = 0

Marilyn skrev:
Nej f avtar för 0 < x < 1 och extrempunkter saknas.

Saknas också stationära punkter då? I och med att jag fann att f'(x)\=0?

Det finns ingen punkt på kurvan där f’ = 0. Jag har inte kollat vad som händer när x avtar mot 0, men eftersom f inte är definierad i origo så spelar det ingen roll.

Svara

Visa senaste svar