asymptot -

Smith skrev :

a) skissa grafen till y=(x² + 16)/4x med hjälp av derivata

löst

b) ange eventuella asymptoter till kurvan. 

Jag tänker en asymptot är x= 0 och om vi går mot oändlighet blir det y=1 stämmer det?

x=0 stämmer, alltså y axeln är en asymptot.  Men y=1 stämmer ej.   

$$\begin{gathered} \frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{16}}{\mathbf{4}\mathbf{x}}\frac{\mathbf{/}\mathbf{x}}{\mathbf{/}\mathbf{x}} \\ \underset{\mathbf{x}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{lim}}\frac{\mathbf{x}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{\mathbf{16}}{\mathbf{x}}}}{\mathbf{4}} \\ \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{4}} \end{gathered}$$

Ska man inte alltid dela med den högsta graden som i detta fall var x²?

Smith skrev :

Ska man inte alltid dela med den högsta graden som i detta fall var x²?

Nä, den metoden känner jag inte till. Du kan ju skriva såhär också,
 $$\begin{gathered} \mathit{y}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{16}}{\mathbf{4}\mathbf{x}} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}\mathbf{x}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{16}}{\mathbf{4}\mathbf{x}} \\ \mathit{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{x}} \\ \underset{\mathbf{x}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{lim}}\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{4}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{x}} \end{gathered}$$ 

så ser du att när x går mot oändligheten så går y mot 4/x

Har du ritat? Det bör vara första steget, så att man vet vad det är man försöker bevisa.

Jaha, okej det var ju smart idé faktiskt! 

Känner någon annan till ifall man ska dividera med den högsta graden eller minsta graden...?

Smaragdalena skrev :

Har du ritat? Det bör vara första steget, så att man vet vad det är man försöker bevisa.

Ja om du läste uppgift a) så vet du

Då bör du ha sett att y = 1 inte är en asymptot. Eftersom du inte hade sett det, drog jag slutsatsen att du inte hade ritat.

Mattepapput skrev:

så ser du att när x går mot oändligheten så går y mot 4/x

Mattepapput har gjort gränsvärdesberäkningen rätt, men dragit fel slutsatser. 4/x => 0 när x går mot oändligheten. Däremot är y = x/4 en asymptot.

Men alltså den y=1 närmar ju sig funktionerna, den går jo i mitten av de?

Smaragdalena, jag har en till fråga: ska man alltid dividera med högsta gradtal? för mattepapput dividerade med x, men högsta är ju x²? 

Vad har funktionen $y = \frac{x^{2 }+ 16}{4x}$ för värde när x = 100, exempelvis? Stämmer det med att funktionen skulle ha en asymptot y = 1?

Det finns ingenting som man "alltid" skall göra, förutom vara snäll mot andra. Jag förstår inte varför du skulle vilja dividera med $x^2$ - MattePapputs förenkling är korrekt och bra.

0

Men varför dividerar man med just x? Är det för att förenkla eller har det ett annat syfte?

Det är för att förenkla, så att man får två termer som det är lätt att beräkna vad de får för värden när x går mot oändligheten.

Tack!

Smaragdalena skrev: 
Mattepapput har gjort gränsvärdesberäkningen rätt, men dragit fel slutsatser. 4/x => 0 när x går mot oändligheten. Däremot är y = x/4 en asymptot.

Skrev fel, det ska stå y går mot x/4   inte 4/x. 

Här kan man se det grafiskt också.
Blå: y = x/4
Röd: y = $\frac{x^2+16}{4x}$