asymp.

naturnatur1 skrev:

$x-\frac{1}{x-5}$

Finn asymptoter.

x= 5 är en.

Det stämmer

1. Hur kommer det sig att y = x också är en asymptot till denna funktion?

Sätt y = x-1/(x-5)

Den intuitiva förklaringen:

Du ser att när x går mot oändligheten så går termen 1/(x-5) mot 0 och därför går uttrycket mot y = x

---

2. Jag tänkte att man delar 1/x och 1/5, och då ser man att den horisontella asymptoten (när de går mot oändligheten) Uppenbarligen fel, varför?

Jag förstår inte riktigt vad du menar med att dela 1/x och 1/5, kan du visa med någon sorts uträkning?

Jag förstår inte riktigt vad du menar med att dela 1/x och 1/5, kan du visa med någon sorts uträkning?

Exempel:

$$\begin{gathered} \frac{x^2+16}{4x} \\ Kan delas upp till \\ \frac{x^2}{4x}+\frac{16}{4x} alltså \\ \frac{x}{4}+\frac{4}{x} \\ Här ser man att när man sätter in stora x så kommer 4/x "smälta bort" \\ och det som dominerar är termen 4/x, vilket medför att det blir en asymptot. \end{gathered}$$

Ville göra samma sak med denna, men ser nu att det kanske inte går? 

Det här med horisontella asymptoter.. gäller det alltså att kolla när x går mot oändligheten så kollar man vad termen kommer gå till, och det termen gåt mot skapar en asymptot?

naturnatur1 skrev:

Ville göra samma sak med denna, men ser nu att det kanske inte går? 

Undrar du alltså om $\frac{1}{x-5}$ är lika med $\frac{1}{x}-\frac{1}{5}$?

---

Det här med horisontella asymptoter.. gäller det alltså att kolla när x går mot oändligheten så kollar man vad termen kommer gå till, och det termen gåt mot skapar en asymptot?

Du hittar horisontella och/eller sneda asymptoter då x går mot plus/minus oändligheten.

• Om uttrycket gåt mot ett konstant värde y = a så har vi en horisontell asymptot.
• Om uttrycket gär mot en rät linje y = kx+m så har vi en sned asymptot.

Du har linjen y_L = x

och kurvan   y_K = x – 1/(x–5)

Du ser att y_L – y_K = 1/(x–5) som går mot noll när x går mot ± oändligheten.

Då är linjen en asymptot till kurvan.

Här finns en bra beskrivning av en metod för att hitta sneda eller horisontella asymptoter. 

Yngve skrev:

naturnatur1 skrev:

Ville göra samma sak med denna, men ser nu att det kanske inte går? 

Undrar du alltså om $\frac{1}{x-5}$ är lika med $\frac{1}{x}-\frac{1}{5}$?

Nej, de är inte samma. Jag bara försökte dela upp bråket så som mitt exempel på #3 , men ser nu att det inte går.

Marilyn

---

Du har linjen yL = x

och kurvan   yK = x – 1/(x–5)

Du ser att yL – yK = 1/(x–5) som går mot noll när x går mot ± oändligheten.

Då är linjen en asymptot till kurvan.

Tack

Tack för källan Yngve! Har du möjlighet att ge ett exempel på hur man tillämpar "listan" som är skriven av PATENTERAMERA?

Ta t ex. $y=\frac{3x^2}{4x-5}$

Yngve skrev:

Ta t ex. $y=\frac{3x^2}{4x-5}$

Första steget, ska jag då dela uttrycket med x? Alltså

$\frac{3x^2}{4x-5 }/x$?

Vilket k är det man snackar om vid punkt 2?

naturnatur1 skrev:

Första steget, ska jag då dela uttrycket med x? Alltså

$\frac{3x^2}{4x-5 }/x$?

Ja, första steget är att du undersöker vad som händer med det uttrycket då x går mot plus/minus oändligheten. Om det gränsvärdet existerar (dvs går mot ett tal) så ska du gå vidare till steg 2.

Vilket k är det man snackar om vid punkt 2?

k är riktningskoefficienten för den räta linje y = kx+m som utgör den horisontella eller sneda asymptoten, om den existerar (se steg 5).

Yngve skrev:

naturnatur1 skrev:

Första steget, ska jag då dela uttrycket med x? Alltså

$\frac{3x^2}{4x-5 }/x$?

Ja, första steget är att du undersöker vad som händer med det uttrycket då x går mot plus/minus oändligheten. Om det gränsvärdet existerar (dvs går mot ett tal) så ska du gå vidare till steg 2.

Hur gör jag det? Ska jag dela med x och undersöka hur uttrycket ser ut då? Dvs $\frac{3x^2}{4x^2-5x}$, bryter jag ut ett x nu så kommer det iställt stå 3x/4x-5.

Eller ska jag bara testa sätta in stora tal? För täljaren kommer den öka, för nämnaren minska.

Vilket k är det man snackar om vid punkt 2?

k är riktningskoefficienten för den räta linje y = kx+m som utgör den horisontella eller sneda asymptoten, om den existerar (se steg 5).

Det är jag med på, men vart i uttrycket finner man det? Vilket k då?

Du skall beräkna $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2}{\left(4x-5\right)x}$. Sedan sätter du k lika med gränsvärdet, om det existerar.

PATENTERAMERA skrev:

Du skall beräkna $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2}{\left(4x-5\right)x}$. Sedan sätter du k lika med gränsvärdet, om det existerar.

Vart finner jag k? Jag är med på att det är riktningkoeffcienten men inte hur det fås fram i ovanstående uttryck?

Räkna ut gränsvärdet. Sedan sätter du k lika med det gränsvärde som du räknat fram. Vad är problemet?

PATENTERAMERA skrev:

Räkna ut gränsvärdet.

Jag får det till 3/4.

Sedan sätter du k lika med det gränsvärde som du räknat fram. Vad är problemet?

Jag förstår bara inte vad k är. Vart finner jag det? Är det $\frac{3}{4}x?$

naturnatur1 skrev:

Jag får det till 3/4.

Ja, det stämmer. Vi har alltså att k = 3/4.

Jag förstår bara inte vad k är. Vart finner jag det? Är det $\frac{3}{4}x?$

Nej, k är 3/4.

Om det finns en asymptot så är det alltså en rät linje med riktningskoefficient 3/4.

Denna eventuella asymptot kan alltså beskrivas med hjälp av den räta linjens ekvation y = (3/4)*x+m.

Nästa steg blir att bestämma m-värdet.

Yngve:

Jag förstår bara inte vad k är. Vart finner jag det? Är det $\frac{3}{4}x?$

Nej, k är 3/4.

Om det finns en asymptot så är det alltså en rät linje med riktningskoefficient 3/4.

Denna eventuella asymptot kan alltså beskrivas med hjälp av den räta linjens ekvation y = (3/4)*x+m.

Nästa steg blir att bestämma m-värdet.

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }=\frac{3x^2}{4x-5}- \frac{3}{4}x \\ \frac{\left(4\right) 3x^2}{4(4x-5)}- \frac{3x(4x-5)}{4(4x-5)} \\ \left(\frac{12x^2}{16x-20}\right)-\left(\frac{12x^2-15x}{16x-20}\right) \\ = \\ \underset{x\to \infty }{\lim }=\frac{15x}{16x-20 } \end{gathered}$$

något sådant?

Tillägg: 31 okt 2023 12:56

m = 15/16

y = 3/4x + 15/16

Ser bra ut.

Tack snälla för er hjälp. Denna metod bör läras ut i skolan.

Vad gäller horisontella asymptoter så löser man bara gränsvärdet väl och kollar vad det går mot när x går mot oändligheten? Hur vet man om man ska fortsätta med resterande steg? m.a.o hur vet jag om den bara är horisontell eller sned?

Tillägg: 31 okt 2023 13:21

(Raderat)

Ja, för horisontella asymptoter så behöver man bara titta på gränsvärdet för funktionen.

Denna metod täcker egentligen in också horisontella asymptoter, då man helt enkelt får ett k-värde som är noll. Så asymptoten blir linjen y = m.