Astrologiska beräkningar

Har ni ritat 3.47 ljusår (eller menar ni något annat) som en onödigt stor del av omkretsens 132000 ljusår? X är då med stor noggrannhet lika med 3.47 ljusår och vinkeln blir 0.694mrad

Hej Lech! Jag glömde att säga välkommen till Pluggakuten :-)
Det kunde vara intressant att veta vad ni resonerar om. Omkretsen har galaktiska mått men avståndet tar er inte utanför vintergatan som år "vår" galax.

Vi kan ju också påpeka att det snarare verkar handla om astronomi än astrologi. ;-)

Affe Jkpg skrev :

Har ni ritat 3.47 ljusår (eller menar ni något annat) som en onödigt stor del av omkretsens 132000 ljusår? X är då med stor noggrannhet lika med 3.47 ljusår och vinkeln blir 0.694mrad

3,47 ljusår är längden på bågen mellan den räta vinkeln och det översta strecket. Vi vet att X:s avvikelse från cirkeln är extremt liten, men vi vill fortfarande veta hur man räknar ut X på bästa sett. 

Den del av cirkelbågen du har markerat är så gott som en rak lodrät linje.

Med tre siffrors noggrannhet är svaret 3.47 ljusår.

Med exakt värde är svaret x = R*tan(v)

R = 132000 / 2pi

v = 3.47 / 132000

Bubo skrev :

 

Den del av cirkelbågen du har markerat är så gott som en rak lodrät linje.

Med tre siffrors noggrannhet är svaret 3.47 ljusår.

Med exakt värde är svaret x = R*tan(v)

R = 132000 / 2pi

v = 3.47 / 132000

Ja, vi vet att de är så gott som exakt lika långa, men det är inte så i alla uträkningar, vi vill gärna veta hur man räknar ut det absolut korrekta svaret. 
Tack så länge

Bubo skrev :

Med exakt värde är svaret x = R*tan(v)

R = 132000 / 2pi

v = 3.47 / 132000

Då definierar vi först den vinkel som cirkelbågen bildar:

$\theta =\frac{3.47}{132000}*2\pi =\frac{3.47\mathrm{\pi }}{66}{10}^{-3}$

Cirkelns radie:
$$\begin{gathered} 132000=2\pi *r \\ r=\frac{66}{\mathrm{\pi }}*{10}^3 \end{gathered}$$

Sedan drar vi en korda med längden k som passerar cirkelbågens ändar:
$$\begin{gathered} k=2r*\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\approx 2r* (\frac{\theta }{2}-\frac{{\theta }^3}{8*6})...Taylorutveckling av \sin (..) \\ k=r *(\theta -\frac{{\theta }^3}{24}) \end{gathered}$$

Är det någon som har lust att ta vid här....?

Nu tycker jag att du krånglar till det, Affe_Jkpg.

R*tan(v) enligt ovan.

Här är ett sätt att lösa uppgiften numeriskt:

Eftersom vi känner till omkretsen hos cirkeln går det att beräkna r till 21008,45 ljusår. Vidare vet man att vinkeln v motsvarar andelen 3,47/132000 av ett helt varv (2 pi radianer), vilket motsvarar 1,6517*10^(-4) radianer.

Med hjälp av sinussatsen och vinkelsumman i en triangel (pi radianer) går det att bestämma vinkeln u:

$\frac{\sin (\pi -v-u)}{r+5000}=\frac{\sin {\displaystyle u}}{r}$

Sätt in värdena på r, v och lös ekvationen grafiskt. Då fås att u=6,94*10^(-4) radianer. Till sist kan man ställa upp sambandet

$\tan (6,94·{10}^{-4})=\frac{x}{5000}$

...vilket, som sagt, ger att x=3,47 ljusår.

Just det!  Jag har räknat på fel sträcka!

Affe Jkpg skrev :

Då definierar vi först den vinkel som cirkelbågen bildar:

$\theta =\frac{3.47}{132000}*2\pi =\frac{3.47\mathrm{\pi }}{66}{10}^{-3}$

Cirkelns radie:
$$\begin{gathered} 132000=2\pi *r \\ r=\frac{66}{\mathrm{\pi }}*{10}^3 \end{gathered}$$

Sedan drar vi en korda med längden k som passerar cirkelbågens ändar:
$$\begin{gathered} k=2r*\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\approx 2r*(\frac{\theta }{2}-\frac{{\theta }^3}{8*6})...Taylorutvecklingav\sin (..) \\ k=r*(\theta -\frac{{\theta }^3}{24}) \end{gathered}$$

Är det någon som har lust att ta vid här....?

Det var inte så lätt! Vi nöjer oss med att $x\approx k$

$$\begin{gathered} \Theta \approx 0.165*{10}^{-3} \\ r\approx 21*{10}^3 \\ x\approx 3.47-21*{10}^3\frac{(0.165*{10}^{-3}{)}^3}{24}=3.47-3.9*{10}^{-9} \end{gathered}$$

Affe Jkpg skrev :

$$\begin{gathered} \Theta \approx 0.165*{10}^{-3} \\ r\approx 21*{10}^3 \\ x\approx 3.47-21*{10}^3\frac{(0.165*{10}^{-3}{)}^3}{24}=3.47-3.9*{10}^{-9} \end{gathered}$$

Jag har också varit inne på detta spåret, men lyckas inte få fram det exakta svaret. Det skulle vara bra med ett exakt svar.

Lech skrev :

Affe Jkpg skrev :

$$\begin{gathered} \Theta \approx 0.165*{10}^{-3} \\ r\approx 21*{10}^3 \\ x\approx 3.47-21*{10}^3\frac{(0.165*{10}^{-3}{)}^3}{24}=3.47-3.9*{10}^{-9} \end{gathered}$$

Jag har också varit inne på detta spåret, men lyckas inte få fram det exakta svaret. Det skulle vara bra med ett exakt svar.

Jag skulle också vilja veta hur man kommer fram till ett exakt värde. Ett avrundat svar kan ju vem som helst få fram

Urum skrev :

Lech skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

$$\begin{gathered} \Theta \approx 0.165*{10}^{-3} \\ r\approx 21*{10}^3 \\ x\approx 3.47-21*{10}^3\frac{(0.165*{10}^{-3}{)}^3}{24}=3.47-3.9*{10}^{-9} \end{gathered}$$

Jag har också varit inne på detta spåret, men lyckas inte få fram det exakta svaret. Det skulle vara bra med ett exakt svar.

Jag skulle också vilja veta hur man kommer fram till ett exakt värde. Ett avrundat svar kan ju vem som helst få fram

Jaha...nu tycks vi i alla fall vara nere på nio decimaler...jag undrar just över det exakta svaret på t.ex. talet $\mathrm{\pi }$ 

Lech skrev :

Affe Jkpg skrev :

$$\begin{gathered} \Theta \approx 0.165*{10}^{-3} \\ r\approx 21*{10}^3 \\ x\approx 3.47-21*{10}^3\frac{(0.165*{10}^{-3}{)}^3}{24}=3.47-3.9*{10}^{-9} \end{gathered}$$

Jag har också varit inne på detta spåret, men lyckas inte få fram det exakta svaret. Det skulle vara bra med ett exakt svar.

Jaha...nu tycks vi i alla fall vara nere på nio decimaler...jag undrar just över det exakta svaret på t.ex. talet  $\mathrm{\pi }$

(Hänvisar till min bild här uppe i tidigare inlägg)

Höjden i triangeln mellan cirkelns mittpunkt, övre skärningen med cirkeln och punkten längst till höger blir

$h=r·\sin v$

Om man ritar ut höjden blir sträckan till vänster längs med basen till cirkelns mittpunkt

$r·\cos v$

Man kan nu tänka sig en ny triangel med sidan h och de andra sidorna mot punkten längst till höger. Basen i den triangeln blir

$b=5000+r-r·\cos v$

Nu kan man utnyttja likformigheten mellan triangeln med höjden h och triangeln med höjden x:

$\frac{b}{5000}=\frac{h}{x}$

$\frac{5000+r-r·\cos v}{5000}=\frac{r·\sin v}{x}$

Ur vilket man kan lösa ut x:

$x=\frac{5000r·\sin v}{5000+r(1-\cos v)}$

Sen får man sätta in r=132000/(2pi) och v=2pi*3,47/(132000) för att få fram ett "exakt svar". Ett närmevärde blir 3,469999785340629850046073540982767022418966079698.

Urum skrev :

Lech skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

$$\begin{gathered} \Theta \approx 0.165*{10}^{-3} \\ r\approx 21*{10}^3 \\ x\approx 3.47-21*{10}^3\frac{(0.165*{10}^{-3}{)}^3}{24}=3.47-3.9*{10}^{-9} \end{gathered}$$

Jag har också varit inne på detta spåret, men lyckas inte få fram det exakta svaret. Det skulle vara bra med ett exakt svar.

Jag skulle också vilja veta hur man kommer fram till ett exakt värde. Ett avrundat svar kan ju vem som helst få fram

Hej Urum! Jag glömde att säga välkommen till Pluggakuten :-)

Affe Jkpg skrev :

Urum skrev :

Visa föregående citat

Lech skrev :

Affe Jkpg skrev :

$$\begin{gathered} \Theta \approx 0.165*{10}^{-3} \\ r\approx 21*{10}^3 \\ x\approx 3.47-21*{10}^3\frac{(0.165*{10}^{-3}{)}^3}{24}=3.47-3.9*{10}^{-9} \end{gathered}$$

Jag har också varit inne på detta spåret, men lyckas inte få fram det exakta svaret. Det skulle vara bra med ett exakt svar.

Jag skulle också vilja veta hur man kommer fram till ett exakt värde. Ett avrundat svar kan ju vem som helst få fram

Hej Urum! Jag glömde att säga välkommen till Pluggakuten :-)

Tack så mycket Affe!