Åskådliggöra punkter

Hej.

Visa gärna hur du har ritat.

Tänk på att |z-a| kan tolkas som avståndet mellan det komplexa talet z och det komplexa talet a, på samma sätt som för reella tal, att |x-b| kan tolkas som avståndet mellan det reella talet x och det reella talet b.

Yngve skrev:

Hej.

Visa gärna hur du har ritat.

Tänk på att |z-a| kan tolkas som avståndet mellan det komplexa talet z och det komplexa talet a, på samma sätt som för reella tal, att |x-b| kan tolkas som avståndet mellan det reella talet x och det reella talet b.

Det jag vill är alltså att hitta punkter som kommer ge oss samma avstånd till de , när man både utgår från l z-i l och l z-2 l , som start?

Exakt. Punkten z ska ligga lika långt från i som från 2.

Kan jag få ledtråd? (:

Exempel: Ekvationen |z-1| = 2 är uppfylld för alla de komplexa tal z som ligger på avståndet 2 längdenheter från det komplexa talet 1.

Dessa tal z ligger alltså på en cirkel med medelpunkt I 1 och radie 2.

Ledtråd: Rita alltså en cirkel runt talet i och en annan cirkel med samma radie runt talet 2.

Ekvationens lösning ges nu av skärningspunkterna mellan dessa två cirklar.

Du bör nu fundera på om det finns olika varianter på dessa cirklar.

Funkar detta? Hur fås skärningen ut?

Tillägg: 3 dec 2023 00:41

Tanken är att de ska ha radien 2.

Snyggt!

Du kan nu klura ut lösningsmängden antingen genom att

• resonera kring din skiss, laborera då med olika radier på cirklarna. Finns det ngn minsta radie? Största radie? Ser du något mönster gällande cirklarnas skärningspunkter?
• bestämma lösningsmängden algebraiskt. Du kan då använda att om $w = a+bi$ är ett komplext tal så gäller det att $|w|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Yngve skrev:

• bestämma lösningsmängden algebraiskt. Du kan då använda att om $w = a+bi$ är ett komplext tal så gäller det att $|w|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Vet tyvärr inte hur jag ska gå tillväga. Jag har ju 2 skärningspunkter, men hur jag ska få ut de punkter som söks mha det "sambandet" ovan vet jag inte riktigt hur jag ska göra för tillfället

OK. Ansätt då z = a+bi och sätt in i ekvationen.

På den första

a = 0

b = -1

På den andra

a= -2

b = 0

Om du menar så?

Tillägg: 3 dec 2023 01:06

Fast eftersom det är inom absolutbelopp blir dessa positiva.

naturnatur1 skrev:

---

Om du menar så?

 

Nej, jag menar att om $z=a+bi$ så är.$z-i=a+bi-i=a+(b-1)i$ och $z-2=a+bi-2=(a-2)+bi$.

Det betyder att ekvationen $|z-i|=|z-2|$ kan skrivas

$\sqrt{a^2+(b-1)^2}=\sqrt{(a-2)^2+b^2}$

Detta ger dig ett samband mellan $a$ och $b$ som ger ett steg på vägen till lösningen.

Marilyn skrev:

Exakt. Punkten z ska ligga lika långt från i som från 2.

Om du håller fast det kan du egentligen glömma att det är ett komplext talplan och bestämma linjen som ligger lika långt från A = (2, 0) som från B = (0, 1).

Mittpunkten är M = (1, 1/2), linjen AB har k = –1/2 så mittlinjen har k = 2

Linjens ekv är y–1/2 = 2(x–1). En punkt a+bi på sökta linjen ges alltså av

b = 2a –3/2  som insatt ger z = a+(2a–3/2)i.

Tack för era svar!

Men hur kommer det sig att det blir en linje? Hur visste man att det var en linje som skulle anpassas?

naturnatur1 skrev:

Tack för era svar!

Men hur kommer det sig att det blir en linje? Hur visste man att det var en linje som skulle anpassas?

Komplexa tal kan antingen beskrivas som punkter eller vektorer i det komplexa talplanet. Båda tankesätten funkar. 

naturnatur1 skrev:

Men hur kommer det sig att det blir en linje? Hur visste man att det var en linje som skulle anpassas?

Det går att inse det med hjälp av ett grafiskt resonemang.

Följ då tipset jag gav i första punkten i svar #9, att rita cirklar med olika radie.

Du kommer att se att cirklarnas skärningspunkter ligger på en rät linje.

===========

Ett annat sätt att komma fram till det är med hjälp av den algebaiska metoden jag presenterade i svar #9 och ledtrådade vidare i svar #13.