Aritmetiskt och geometriskt medelvärde

Om $a$ och $b$ är positiva tal så råder följande olikheter mellan deras produkt, summa och reciproka värden.

$\displaystyle\min\left(a,b\right)\leq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \max\left(a,b\right).$

Bevis. Eftersom $a$ och $b$ är positiva tal existerar deras kvadratrötter så att man kan skriva $a=(\sqrt{a})^2$ och $b=(\sqrt{b})^2$ .

Man kan därför beräkna $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ med kvadreringsregel till $a+b-2\sqrt{ab}$ . Denna summa är aldrig negativ vilket ger olikheten

$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}.$

Man kan även använda kvadratrötters reciproka värden och beräkna $(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}})^2$ till $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} - \frac{2}{\sqrt{ab}}.$ Denna summa är aldrig negativ vilket ger olikheten

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}.$

Om $a\leq b$ så är $\min(a,b)=a$ och $\max(a,b)=b$ och det aritmetiska medelvärdet begränsas uppåt

$\displaystyle\frac{a+b}{2} \leq b$ .

För reciproka värden är $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \leq \frac{2}{a}$ så att det harmoniska medelvärdet begränsas nedåt

$\displaystyle a\leq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ .

Följdsats. Om $a$ är ett positivt tal så råder följande olikheter.

$\displaystyle\min\left(a,\frac{1}{a}\right) \leq \frac{2}{a+\frac{1}{a}}\leq 1 \leq \frac{a+\frac{1}{a}}{2}\leq \max\left(a,\frac{1}{a}\right).$

Bevis. Eftersom $a$ är ett positivt tal så är $1/a$ också ett positivt tal. Sätt $b=1/a$ .

Notera att samtliga olikheter blir likheter precis då $a=1$ vilket visar att det minsta värdet som $a+\frac{1}{a}$ kan anta är $2$ och det sker då $a=1$ .

Följdsats. Om $a$ och $b$ är positiva tal så gäller följande olikhet för deras logaritmer.

$\displaystyle\frac{\log a+\log b}{2}\leq \log\left(\frac{a+b}{2}\right)$

Bevis. Detta följer av att logaritmfunktionen är strängt växande och räkneregler för logaritmer.

Noterar att olikheten ovan är Jensens olikhet tillämpad på den konkava funktionen $\log$ .

Om $a=1$ och $x>0$ så ger olikheterna att

$\min(1,x)\leq \frac{2}{1+\frac{1}{x}}\leq \sqrt{x}\leq \frac{1+x}{2}\leq \max(1,x).$

Detta resultat är användbart då man studerar kvadratrotfunktion och reciproka funktionen, samt max-och min-funktioner.

Speciellt om $0<x\leq 1$ får man

$x\leq \frac{2}{1+\frac{1}{x}}\leq \sqrt{x}\leq \frac{1+x}{2}\leq 1$

och om $x\geq 1$

$1\leq \frac{2}{1+\frac{1}{x}}\leq \sqrt{x}\leq \frac{1+x}{2}\leq x.$

Svara

Visa senaste svar