Aritmetiska medelvärdet större än det geometriska, bevis

Satte nyss igång med Ma 4 och stötte på den här uppgiften som jag inte lyckas komma särskilt långt med.

Tänker att jag kan ta två på varandra, alltså att typ b=a+1, sedan sätter jag in det istället för b och försöker komma fram till något, men det går inte så bra. Hur ska jag tänka?

Nej, det går inte. Du ska bevisa att det gäller för alla tal, a och b. Vi vill ta oss från uttrycket i fråga, till något vi direkt kan säga är sant. Vad händer om du börjar med att kvadrera båda led?

$(\frac{a + b}{2})^{2} \geq (\sqrt{a b})^{2} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4} \geq a b$

Kan inte riktigt se något av att kvadrera båda leden

Multiplicera båda led med fyra, och försök få en nolla i HL.

Hej!

Du ska INTE utgå från olikheten och visa att den är sann genom att kvadrera olikhetens båda led.

Det du ska göra är att utgå från att $a$ och $b$ är icke-negativa tal och visa att deras geometriska medelvärde $\sqrt{ab}$ aldrig är större än deras aritmetiska medelvärde $\frac{a+b}{2}$ ,

$\displaystyle \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}.$

Ett sätt att visa detta är att utveckla det icke-negativa talet $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ med hjälp av Kvadreringsregeln.

$\displaystyle 0 \leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}.$

Svara

Visa senaste svar