Aritmetisk talföljd

Induktionsbevis.

Ett induktionsbevis är ett sätt, ett annat är följande: 

Vi har en talföljd 

$a+k·1, a+k·2, a+k·3, \cdots , a+k·n$

Vi kan se att skillnaden mellan två element bredvid varandra i följden är k. Om vi nu summerar det första och det sista elementet, får vi summan $\left(a+k·1\right)+\left(a+k·n\right)=2a+k(n+1)$. Om vi gör detsamma med det andra och det näst sista elementet, får vi summan $\left(a+k·2\right)+\left(a+k·(n-1)\right)=2a+2k+k\left(n-1\right)=2a+k\left(n+1\right)$.

Eftersom vi i varje steg framåt i talföljden lägger på k, och för varje steg bakåt i talföljden subtraherar k (eftersom skillnaden mellan två element bredvid varandra är k), kommer det innebära att om vi har element i och j nu, kommer summan av elementen (i+1) och (j-1) att vara lika stor som summan av element i och j. 

Detta innebär att alla dessa par i talserien (där ett par innehåller element k och element (n - k)) har samma summa. Om det finns n tal i talföljden, finns det $\frac{n}{2}$ sådana par. Varje par har summan $n_1+n_n$ (första och sista elementet), vilket ger oss att talföljdens summa är $a_S=n\frac{n_1+n_n}{2}$. 

Jag föreslår dock att du, för läsbarhetens skull, kallar elementen i talföljden för $a_i$, så att formeln blir $a_S=n\frac{a_1+a_n}{2}$. :)

Okej då hänger jag med tack så mycket:)

Vad bra, varsågod! :)