Aritmetisk talföljd (Matematik/Universitet)

Var fick du n=4 från i de bägge uppgifterna?

Bedinsis skrev:
Var fick du n=4 från i de bägge uppgifterna?

N = Antal termer från a1 till an

Och hur kom du fram till att detta skulle vara 4?

Bedinsis skrev:
Och hur kom du fram till att detta skulle vara 4?

Jag räknade antalet termer, som i första uppgiften 2+4+6+8 = 4 termer

Så om uppgiften hade varit att bestämma x givet

2+4+6+8+10+...+x=5*x+4

(exakt samma uppgift, fast att vi fört in ... lite senare)

skulle du använt n=5, och fått fram att

a_n=10 och

5*((2+10)/2)=5*6=30?

Bedinsis skrev:
Så om uppgiften hade varit att bestämma x givet
2+4+6+8+10+...+x=5*x+4
(exakt samma uppgift, fast att vi fört in ... lite senare)
skulle du använt n=5, och fått fram att
a_n=10 och
5*((2+10)/2)=5*6=30?

Ja exakt!

Så med den metod som du använde skulle du fått fram olika svar på samma uppgift, beroende på hur du applicerar den?

Är inte det ett tecken på att du använder den på fel sätt eller att den inte är användbar?

Jag säger detta eftersom jag inte förstod varför uträkningarna du gjorde skulle ge rätt svar, och då jag tittar på det slutgiltiga svaret på den första uppgiften förstår jag inte hur det kan vara rätt heller:

Du säger att x=20 är lösningen. Okej. Låt oss pröva både vänsterled och högerled:

VL: 2+4+6+8+...+20= 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = (22/2)*10= 11*10= 110.

HL: 5*20+4= 100+4= 104.

110!=104.

Bedinsis skrev:
Så med den metod som du använde skulle du fått fram olika svar på samma uppgift, beroende på hur du applicerar den?
Är inte det ett tecken på att du använder den på fel sätt eller att den inte är användbar?
Jag säger detta eftersom jag inte förstod varför uträkningarna du gjorde skulle ge rätt svar, och då jag tittar på det slutgiltiga svaret på den första uppgiften förstår jag inte hur det kan vara rätt heller:
Du säger att x=20 är lösningen. Okej. Låt oss pröva både vänsterled och högerled:
VL: 2+4+6+8+...+20= 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 = (22/2)*10= 11*10= 110.
HL: 5*20+4= 100+4= 104.
110!=104.

Ja precis, så det blir fel. vet du hur man löser frågan? Använder jag mig av fel formel eller tolkar jag den fel?

Jag har faktiskt försökt lösa den och kommit fram till att lösning verkar saknas. Men jag kan visa min uträkningar.

2+4+6+8+[...]+(x-2)+x= 5*x+4

Till att börja med kan vi göra förenklingen att ta bort ett x från båda leden.

2+4+6+8+[...]+(x-2)= 4*x+4

Nu är alla termer i såväl vänsterled som högerled garanterat jämnt delbara med 2 så vi dividerar.

1+2+3+4+[...]+(x-2)/2= 2*x+2

Vänsterledet består av summan av de (x-2)/2 första heltalen. Om de t.ex är 10 så är det 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. Adderar man första med sista, näst första med näst sista nästnäst första med nästnäst sista får man (1+10)=11, (2+9)=11, (3+8)=11 osv. samma värde hela tiden. Detta innebär att snittvärdet för en av termerna ges av första plus sista termen delat på två.

1+(x-2)/2= 2/2+(x-2)/2= (2+x-2)/2= x/2.

Så vi har alltså en summa av (x-2)/2 termer som i snitt har värdet x/2. Detta ger

((x-2)/2) * (x/2) = 2*x+2

(x-2)*x = 8*x+8

x²-2*x-8*x-8=0

x²-10*x-8=0

PQ-formeln ger

$x = \frac{10}{2} \pm \sqrt{{(\frac{10}{2})}^{2} + 8} = 5 \pm \sqrt{25 + 8} = 5 \pm \sqrt{33}$

Vilket saknar heltalslösning.

Hej,

Frågan är alltså om det finns ett heltal $x > 2$ sådant att $2+4+\cdots+x = 5x+4$ ?

Mönstret visar att $x$ är ett jämnt tal ( $2n$ ) där $n$ är lika med antalet termer i summan. Man kan alltså skriva ekvationen

$2+4+\cdots+2n = 10n+4.$

Summan kan skrivas $\frac{(2n+2)n}{2} = n(n+1)$ vilket ger ekvationen

$n^2-9n-4=0 \iff (n-4.5)^2-24.25=0$

vars lösningar inte är heltal. Detta betyder att den ursprungliga ekvationen saknar lösning.

Bedinsis skrev:
Jag har faktiskt försökt lösa den och kommit fram till att lösning verkar saknas. Men jag kan visa min uträkningar.
2+4+6+8+[...]+(x-2)+x= 5*x+4
Till att börja med kan vi göra förenklingen att ta bort ett x från båda leden.
2+4+6+8+[...]+(x-2)= 4*x+4
Nu är alla termer i såväl vänsterled som högerled garanterat jämnt delbara med 2 så vi dividerar.
1+2+3+4+[...]+(x-2)/2= 2*x+2
Vänsterledet består av summan av de (x-2)/2 första heltalen. Om de t.ex är 10 så är det 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10. Adderar man första med sista, näst första med näst sista nästnäst första med nästnäst sista får man (1+10)=11, (2+9)=11, (3+8)=11 osv. samma värde hela tiden. Detta innebär att snittvärdet för en av termerna ges av första plus sista termen delat på två.
1+(x-2)/2= 2/2+(x-2)/2= (2+x-2)/2= x/2.
Så vi har alltså en summa av (x-2)/2 termer som i snitt har värdet x/2. Detta ger
((x-2)/2) * (x/2) = 2*x+2
(x-2)*x = 8*x+8
x²-2*x-8*x-8=0
x²-10*x-8=0
PQ-formeln ger
$x = \frac{10}{2} \pm \sqrt{{(\frac{10}{2})}^{2} + 8} = 5 \pm \sqrt{25 + 8} = 5 \pm \sqrt{33}$
Vilket saknar heltalslösning.

tack för hjälpen!

Albiki skrev:
Hej,
Frågan är alltså om det finns ett heltal $x > 2$ sådant att $2+4+\cdots+x = 5x+4$ ?
Mönstret visar att $x$ är ett jämnt tal ( $2n$ ) där $n$ är lika med antalet termer i summan. Man kan alltså skriva ekvationen
$2+4+\cdots+2n = 10n+4.$
Summan kan skrivas $\frac{(2n+2)n}{2} = n(n+1)$ vilket ger ekvationen
$n^2-9n-4=0 \iff (n-4.5)^2-24.25=0$
vars lösningar inte är heltal. Detta betyder att den ursprungliga ekvationen saknar lösning.

Okej, när du skriver: 2+4+...+2n = 10n + 4, kommer 10n från 2n? Alltså 5*2 = 10.
Använder du någon speciell formel för se att n(n+1) ger ekvationen n^2−9n−4=0⇔(n−4.5)^2−24.25=0 ?

Kan man göra på detta sättet för att lösa ekvationen?

$2 + 4 + 6 + 8 + . . . + x = 5 x + 4 = 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + x - 4 = 5 x = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + . . . + \frac{x}{2}) - 4 = 5 x$

Har du en bild på originaltexten?

Laguna skrev:
Har du en bild på originaltexten?

Jo, men det är från ditt block. Jag menar var du fick uppgiften ifrån.

Laguna skrev:
Jo, men det är från ditt block. Jag menar var du fick uppgiften ifrån.

Den kommer från en gammal tenta. Har tenta i Diskret matematik nästa torsdag👍🏼

Isåfall utgör vänsterledet ej summan av endast jämna tal utan av heltal, må de vara udda eller jämna. Då är det heller inte underligt om svaret blir fel.

Kolla runt i tråden för att se hur man kan tänka.

Jag tror att det allra snabbaste sättet är att räkna ut VL och HL fär några värden på x - börja med x=2, konstatera att VL < HL, fortsätt steg för steg tills VL > HL. Om det inte har blivit samma värde någon gång, saknar ekvationen lösning bland heltalen.

Har blandat ihop två likadana frågor som jag har mixat ihop. Den riktiga frågan var: 2+4+6+8+...+x=5x+10

Ursäkta för felskrivningen. Tack för all hjälp. Blir nog betydligt lättare att lösa den nu😅