Aritmetikens fundamentalsats

Sats: Varje naturligt tal större än 1 är en produkt av primtal.

Bevis. Mängden $\mathbb{N}_1$ av naturliga tal som är större än 1 kan skrivas som en union av disjunkta mängder

    $\mathbb{N}_1 = A \cup B$

där $A$ är mängden av alla naturliga tal som är en produkt av primtal och $B$ består av alla naturliga tal som inte är produkter av primtal.

Anta att $B$ är en icke-tom mängd.

Då har den ett minsta element ($b$) enligt Välordningsaxiomet.  Detta element är inte ett primtal, eftersom då hade det varit ett element i mängden $A$, varför det är ett sammansatt tal

    $b = a \cdot \beta.$

Både $a$ och $\beta$ måste vara element i $A$ annars vore $b$ inte det minsta elementet i $B$. Men om $a \in A$ så finns det primtal $\alpha$ som delar $a$ och då delar $\alpha$ även $b$, vilket är omöjligt. 

Det var fel att anta att $B$ var en icke-tom mängd. Därför måste det gälla att

    $\mathbb{N}_1 = A.$