Aritmetikens fundamentalsats

Hej! I frågorna efter kapitlet för aritmetikens fundamentalsats lyder en så här:

A) Visa att talet log 2 är irrationellt.

B) Visa att log p är irrationellt för varje primtal p

(log bas 10)

Kapitlet går dock inte igenom irrationella tal eller hur man visar dem så jag vet inte hur man gör något sådant bevis. Hjälp uppskattas

En klassiker i såna här sammanhang är väl att ge sig på ett motsägelsebevis. Börja med att anta att $\log_{10} 2$ är rationellt, d.v.s. att $\log_{10} 2 = \frac{m}{n}$ där $m, n$ är heltal ( $m \neq 0$ ), försök visa att detta leder till någon motsägelse. En ledtråd är självfallet att kapitlet handlar om aritmetikens fundamentalsats, så ett tips är att försöka få en motsägelse till just aritmetikens fundamentalsats i ditt bevis. Du vill alltså försöka visa att om $\log_{10} 2$ vore rationellt så motsäger det aritmetikens fundamentalssats.

Om du inte vet var du ska börja så skriv om ekvationen $\log_{10} 2 = \frac{m}{n}$ på lite olika sätt och se om du kommer vidare därifrån. Det är ett bra tips i allmänhet att "råräkna" lite om man kört fast och inte har någon aning hur man ska göra.

Hej!

Om $\lg 2 = \frac{a}{b}$ där $a$ och $b$ är relativt prima heltal och $a<>$ , så är

$\displaystyle 2^{b-a} = 5^{a}.$

Detta är omöjligt eftersom 2 och 5 är relativt prima.

Svara