Aritimetik: Diofantiska ekvationer: Kolla om lösningen är korrekt
Hej, skulle någon av er kolla om lösningen ser bra ut/korrekt.
Här är frågan:
hitta ett sätt att lösa systemet
{7x + 18y + z = 250
x + y + z = 100
med tanke på begränsningen att alla tre variablerna tillhör N. (Tips: Börja med att eliminera en
variabel; lös sedan den återstående ekvationen; inkludera slutligen den eliminerade variabeln i
lösning.)
Lösning till ekvationerna:
lösning för ekvationssystemet genom att kontrollera om GCD(7, 18, 1) | 250 och GCD(1, 1, 1) | 100. Eftersom GCD(7, 18, 1) = 1 och GCD(1, 1, 1) = 1 så det finns en heltal lösning för ekvationssystemet.
Låt oss nu använda Euklids algoritm baklänges för att lösa ekvationssystemet. Vi börjar med den första ekvationen: 7x + 18y + z = 250
Vi letar nu efter heltal lösningar för x, y och z genom att använda Euklids algoritm baklänges på ekvationen. x = (250 - 18y - z)/7
Vi kan nu ersätta den här uttrycket för x i den andra ekvationen: (250 - 18y - z)/7 + y + z = 100
Nu kan vi lösa för y och z: y = (100 - (250 - 18y - z)/7 - z)/2 z = (250 - 7x - 18y)
Nu kan vi hitta heltal lösningar för x, y och z genom att välja värden för x och räkna ut värden för y och z. Ett exempel kan vara x = 10, då y = 20 och z = 20.
Du uttrycker y i z och z i y, vilket är konstigt. Dessutom ser det ut att kunna bli annat än heltal.
Jag har faktiskt ingen aning vad det är du gör. Även om det du nu har gjort stämmer så har du väl inte kommit fram till något? Det du har är inte någon lösning.
Det ska vara uttryckt i (vanligt val av variabel), så att vi kan producera en lösning för varje val av n.
dvs, n=0 fås : ...
n = 1 fås: ...
etc
Det du egentligen ska göra är att använda Euklids algortim baklänges, men du måste först kontrollera om det faktiskt existerar en lösning till den diofantiska ekvationen.
Dracaena skrev:Jag har faktiskt ingen aning vad det är du gör. Även om det du nu har gjort stämmer så har du väl inte kommit fram till något? Det du har är inte någon lösning.
Det ska vara uttryckt i (vanligt val av variabel), så att vi kan producera en lösning för varje val av n.
dvs, n=0 fås : ...n = 1 fås: ...
etc
Det du egentligen ska göra är att använda Euklids algortim baklänges, men du måste först kontrollera om det faktiskt existerar en lösning till den diofantiska ekvationen.
Oj lösningen var till en anann ekvation: här är den rätta svaret:
kontrollera om GCD(7, 18, 1) | 250 och GCD(1, 1, 1) | 100. Eftersom GCD(7, 18, 1) = 1 och GCD(1, 1, 1) = 1 så det finns en heltal lösning för ekvationssystemet.
Låt oss nu använda Euklids algoritm baklänges för att lösa ekvationssystemet. Vi börjar med den första ekvationen: 7x + 18y + z = 250
Vi letar nu efter heltal lösningar för x, y och z genom att använda Euklids algoritm baklänges på ekvationen. x = (250 - 18y - z)/7
Vi kan nu ersätta den här uttrycket för x i den andra ekvationen: (250 - 18y - z)/7 + y + z = 100
Nu kan vi lösa för y och z: y = (100 - (250 - 18y - z)/7 - z)/2 z = (250 - 7x - 18y)
Nu kan vi hitta heltal lösningar för x, y och z genom att välja värden för x och räkna ut värden för y och z. Ett exempel kan vara x = 10, då y = 20 och z = 20.
Laguna skrev:Du uttrycker y i z och z i y, vilket är konstigt. Dessutom ser det ut att kunna bli annat än heltal.
Nu när jag har läst mer om Diofantiska ekvationer såg att det jag har gjort är fel här är den mer korrekta svaren:
{7x + 18y + z = 250
x + y + z = 100}
Steg 1: Kontrollera om det finns en lösning på diophantiska ekvationen. Vi måste först kontrollera om GCD av 7 och 18 delar 250 och 100. GCD(7,18) = 1, och 1 delar 250 och 100. Så det finns en lösning för ekvationerna.
Steg 2: Använd Euclids algoritm baklänges för att hitta lösningen för 7x + 18y = 1.
Vi kan använda den utökade Euclide-algoritmen som är en förlängning av Euclide-algoritmen för att hitta heltal x och y så att ax + by = gcd(a, b).
7x + 18y = 1
Vi kan använda Euclide-algoritmen för att hitta GCD(7,18) = 1
x' = 1, y' = 0 x = 0, y = 1
r[i] = a[i-2], r[i-1] = a[i-1], q[i] = a[i-2]/a[i-1]
r[2] = 18, r[1] = 7, q[2] = 18/7 = 2
r[i] = r[i-2] - q[i]*r[i-1], x[i] = x[i-2] - q[i]*x[i-1], y[i] = y[i-2] - q[i]*y[i-1]
r[1] = 18 - 27 = 4 x[1] = 0 - 21 = -2 y[1] = 1 - 2*0 = 1
r[0] = 7 - 4*1 = 3 x[0] = 1 - (-2)1 = 3 y[0] = -2 - 11 = -3
Eftersom r[0] = gcd(a,b) = 1, är x = 3 och y = -3 lösningen för 7x + 18y = 1
Steg 3: Multiplicera lösningen med konstanten (c) 250 och 100 respektive x = 250x = 2503 = 750 y = 100y = 100(-3) = -300
Vi ersätter denna värde av x och y i den ursprungliga ekvationen 7750 + 18(-300) + z = 250 z = 250 - 7750 - 18(-300) z = 250 - 5250 + 5400 z = 75
Så lösningen för detta ekvationssystem är x = 750, y = -300, z = 150
Varje gång du tror att du har en lösning bör du kontrollera den.
Du skrev att är en lösning för , men sätter du in dessa tal så får du att:
På samma sätt kan man visa att ditt lösningsförslag inte löser .
När det gäller Diofantiska ekvationer måste man vara väldigt försiktig när man delar båda sidor med något.
Det är bättre att behålla allting som heltal istället för att blanda in bråk.
I detta fallet har vi ett ensamt i båda av systemets ekvationer.
Om vi löser ut dessa får vi att:
Eftersom kan vi nu ansätta följande:
Sätter vi detta får vi att:
Nu kan vi använda Euclids utökade algoritm för att hitta en lösning för & .
(kontrollera att din lösning faktiskt löser ekvationen)
Sedan återstår bara att sätta in i uttrycket för , i uttrycket för , och & i uttrycket för .
(kontrollera att din lösning faktiskt löser ekvationssystemet)
