Argumentet för ett komplext tal

Jag ska räkna ut argumentet för det komplexa talet: $\frac{(3 + 2 i) (1 - i)}{(2 + i)^{2}}$

Jag får fram samma värde som facit men de presenterar det helt annorlunda.

Jag tänker så här. Använder mig av formeln som boken gett arg z= arctan( b/a). Samt att arg ( z1 * z2)= arg z1 + arg z2 (samt samma princip för division) $a r g (3 + 2 i) = a r c \tan (- \frac{3}{2}) = - a r c \tan (\frac{3}{2}) a r g (1 - i) = a r c \tan (- 1) = - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} a r g (2 + i) = a r c \tan (\frac{1}{2}) a r g ((3 + 2 i) (1 - i)) = - a r c \tan (\frac{3}{2}) + \frac{7 π}{4} a r g ((2 + i)^{2}) = a r c \tan (\frac{1}{2}) + a r c \tan (\frac{1}{2}) = 2 (a r c \tan (\frac{1}{2}) S å l e d e s : a r g (\frac{(3 + 2 i (1 - i)}{(2 + i)^{2}}) = - a r c \tan (\frac{2}{3}) + \frac{7 π}{4} - 2 a r c \tan (\frac{1}{2})$

När jag slår på räknare ger det samma värde som facit

Facit vill dock svara så här som känns snyggare och enklare:

$π + \arctan (\frac{19}{17})$

Hur kan jag omvandla mitt svar på en formen eller bör jag utgå från en annan strategi?

P.S. för argumentet gäller naturligtvis också + n *2 $π$ det har jag koll på

Får du negativt argument för (3 + 2i), eller är det ett tryckfel?

Summor och differenser av arctanar kan slås ihop med additionsformlerna för tangens. Ibland behöver man då lägga till eller dra i från multiplar av pi.

u + v = arctan(tan(u + v)) (ibland +/- pi)

där u och v = arctan(...)

Ja, tryckfel. Råkade skrivade av uppgiften fel. ska stå (3-2i).

Aha. Har tidigare mest jobbat med additionsformler för cosinus och sinus, hade inte hundra koll på att det fanns för tangens. Ska kolla på det och då förhoppningsvis få fram rätt svar :)

Fungerar de på samma sätt när det gäller arctan som för tan?

Du har inte lust att visa ett kort exempel på addition med arctan-termer? Eller länka till något exempel, har svårt att hitta något sådant.

Nu förstod jag principen. Blev bara lite förvirrande först av alla arctan och tan när det skulle in i formlen. Lyckades i alla fall addera ihop dubbla vinkeln arctan(1/2) + arctan(1/2). Ska nog reda ut resten då också

Hej!

Argumentet för det komplexa talet

$\frac{(3+2i)(1-i)}{(2+i)^2}$

är lika med det reella talet

$\text{Arg}(3+2i) + \text{Arg}(1-i) - 2\cdot \text{Arg}(2+i).$

De enskilda argumenten beräknas som

$\text{Arg}(3+2i) = \arctan \frac{2}{3}$

och

$\text{Arg}(1-i) = \arcatan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

och

$\text{Arg}(2+i) = \arctan \frac{1}{2}$ .

Om man istället utvecklar det komplexa talets täljare och nämnare får man det komplexa talet

$\frac{5 - i}{3+i4} = \frac{1}{25}(11-i23)$

vars argument är lika med det reella talet

$\text{Arg}(11-i23) = \arctan (-\frac{23}{11})$ .

Albiki

Sant Albiki. Man kan naturligtvis utveckla bråket först och sen ta argumentet av det. Det hade nog i det här fallet blivit lättare. Med lite möda fick jag fram det på båda sätten.

Svara

Visa senaste svar