Arg z

Oftast definierar man Arg(z) så att det ligger mellan -180 och 180 grader (eller mellan -pi och pi), så då blir arg(z)=-45. Vill man ha med periodiciteten så är den 360 grader och inte 180. Periodiciteten för tangens är 180 grader, men du vet ju att det är 1-i och inte -1+i vi tittar på (även om de har samma värde på tangens). Så -45+n*360 i sådana fall.

Sen är inte tan(v)=-45 utan v=-45, men det tror jag att du vet och bara gjorde ett skrivfel på.

Talet 1-i ligger i fjärde kvadranten. Du kan kalla argumentet -45 grader eller -405 grader eller 315 grader eller 675 grader eller...

Hur kommer det sig att -1+i så gör man v + n*180, likaså för en vinkel i tredje kvadrant också 

Det gör man inte, det är v+n*360 där med. Däremot ges lösningarna till tan(v)=t av v=arctan(t)+n*180.

Om du ritar en vinkel som är -45 grader och förlänger den bakåt, så hamnar du på vinkeln 135 grader. Du kan se på talet 1-i att det ligger i fjärde kvadranten, inte andra.

Men om man ska skriva -1+ i polär form blir det då, den ligger i andra kvadrant 

arg z = -45 grader 

roten ur 2 ( cos -45 grader + i sin -45 grader)

eller blir det 

roten ur (cos 135 grader + i sin 135 grader)

Fölr -45 + n*180 = 135.....

när ska man använda + n*360?!

Tangens för den rätta vinkeln här är -1, det stämmer. Men det betyder inte att alla vinklar som har tangens lika med -1 är rätt vinklar.

Rita ut (1-i) och (-1+i) i det komplexa talplanet.

Jag har gjort det och fåf att 1+i är i andra kvadrant ( läs mitt inlägg under smaragdalena, ifall du missade det :) )

Jag försökte få dig att hitta två olika tal med olika argument men med samma värde på tan(arg(z)).

Fast -1+i och 1-i har samma tangensvärde... Alltså verkar inte som att ni förstår min frågeställning :( Jag vill veta om det t.ex. jag ska ha en positiv vinkel.. t.ex -1+i som ligger i andra kvadrant, då ska graderna vara mellan 90-180 grader därför fungerar inte -45 grader väl? Då fungerar 135...

MEN varför fungerar -45 grader vid 1-i, när i fjärde kvadranten ska det vara 270-360 grader...?

Man kan namnge vinklarna i fjärde kvadranten på flera sätt (liksom i alla andra kvadranter). Det skiljer ett helt varv (360 grader, 2 pi radianer) mellan varje "namn".

Förstår ej detta med arg z :( 

Det är inte bara vinklarna som ligger mellan 270-360 grader som utgör fjärdekvadraten. Utan även vinklarna -90 till 0 grader, Samt -450 till -360 grader exempelvis. Det finns oändligt många olika sådana här intervall vi skulle kunna hitta.

Om vi tar en vinkel som ligger i fjärdekvadraten. Exempelvis 315 grader. Då kommer alla vinklarna vi kan få av

$315\textdegree + 360\textdegree n$

peka åt exakt samma håll. Så exempelvis $315\textdegree - 360\textdegree = -45\textdegree$ ligger i fjärdekvadraten.

Samma om vi tar vinkeln $135\textdegree$, denna ligger i andra kvadraten och alla vinklarna

$135\textdegree + 360\textdegree n$

pekar åt samma håll. Så exempelvis även $135\textdegree - 360\textdegree = -225\textdegree$ ligger i andra kvadraten.

Vad är det du inte förstår med argumentet? Att det finns flera olika korrekta svar? (Om facit absolut vill ha ett visst svar, måste de ange vilket intervall det skall vara, annars borde det vara lika rätt med -45 som med 315 eller 675.)

Okej det går jag med på. Men om vi har 1-i och vi får att v = -45 grader hur skriver man det i polär form? Kommer v= -45 eller gör man -45 + n*360

Fråga 2:

Om -1+i har v= -45, är det också -45 + n*360? 

Min vän som studerar i KTH anser att det är -45 + n*180?

Första frågan så kan man säga att

$arg(1 - i) = -45\textdegree + 360\textdegree n$

(eller bara ange en av dessa), man kan alltså säga att $arg(1 - i) = -45\textdegree$.

Fråga 2: Här ligger ju -1 + i i den andrakvadraten, kom ihåg att vi kan så att säga få en vinkel som pekar åt motsatt håll mot den vi söker när vi använder oss av $\arctan$. Här pekar $-45\textdegree$ åt motsatt håll mot den vi söker och vi vill därför ha $-45\textdegree + 180\textdegree = 135\textdegree$. Därför får vi nu att argumentet kan vara

$135\textdegree + 360\textdegree n$

Att säga att argumentet är $-45\textdegree + 180\textdegree n$ stämmer inte, detta eftersom du då kommer ha att dessa vinklar pekar åt olika håll beroende på vilken du väljer, vilket självfallet inte kan stämma.

För fråga 1. Varför gör du inte samma som i fråga 2? Alltså att det har gått 270 grader vid fjärde kvadranten, därmed blir 1-i = -45 + 270...

235 + n*360? Varför valde du att ha negativa just vid fjärde kvadranten (min bok gör samma sak dvs negativ vinkel)?

Att man lägger på 180 grader har inget med att andra kvadraten ligger mellan 90 och 180 grader att göra. Utan kolla på bilden, argumentet för $1 - i$ är den röda vinkeln. För att bestämma denna vinkel $v$ så noterar vi att

$\tan(v) = \frac{-1}{1} = -1$

Detta är ju en helt vanlig trigonometrisk ekvation som du troligtvis har lärt dig lösa tidigare, så vi sätter på oss skygglapparna och struntar i att v ska vara något argument och bara löser den helt blint. Eftersom tangens är periodisk med $180\textdegree$ så får vi att alla lösningar är

$v = -45\textdegree + 180\textdegree n$

Det är alltså tangens periodicitet som gör att vi får + 180n, nu kommer ju inte alla dessa vara argumentet till 1 - i, för vinklarna pekar åt olika håll så det kan ju inte vara möjligt att alla skulle vara argumentet. Därför letar man efter en enda vinkel av alla de vinklar man hittade som ligger i fjärdekvadraten, vi hittar då snabbt att $-45\textdegree$ ligger där. Sedan vet vi att vi även kan lägga på ett helt varv och fortfarande peka åt exakt samma håll, därför är alla möjliga argument

$-45\textdegree + 360\textdegree n$

Då har vi bestämt alla möjliga argument för $1 - i$.

Nu när vi går till $-1 + i$ då ska vi bestämma den blå vinkeln eftersom detta är argumentet. Då låter vi v vara den gröna vinkeln och noterar igen att

$\tan(v) = \frac{1}{-1} = -1$

och får därmed lösningarna

$v = -45\textdegree + 180\textdegree n$

igen. Men notera att den blå vinkeln är $180\textdegree + v$, så vi får därför att om vi enbart söker ett enda argument till $-1 + i$ så får vi $180\textdegree - 45\textdegree = 135\textdegree$. Eftersom vi kan lägga på ett helt varv utan att ändra åt vilket håll vinkeln pekar åt så får vi att alla möjliga argument är

$135\textdegree + 360\textdegree n$

Notera här att du inte behöver hänga upp dig allt för mycket på hur man räknar ut detta, utan tänk rent geometriskt, om du har förstått vilken vinkel det är som söks rent geometriskt så kan du försöka räkna ut den på det sättet du känner för. Du behöver inte följa detta sätt till punkt och pricka.

Kan du ge mig fråga för jag vill känna mig bekväm i detta och nu känns det lite löst

Ange ett argument för det komplexa talet: $-\sqrt{3} - i$

1/roten ur 3 = tan v

v = 30 grader. 

Fast det kan ju inte stämma, men om vi adderar 360 hamnar vi på samma vinkel. D: förstår inte detta fyran :((((

Rita upp detta i koordinatsystemet, vilket vinkel är det då som är $30\textdegree$?

Blir det 30 + 270?

Nej, har du ritat upp det?

Ja den ligger i tredje kvadrant? Men vinkeln 30 ligger i första kvadrant eller vad menar du?

Jag menar vilken vinkel är det du har räknat ut när du kom fram till $30\textdegree$, och vilken vinkel är det du ska bestämma?

Vinkeln för -1/(-roten ur 3)? Eller hur menar du va?

Geometriskt så har du bestämt den röda vinkeln, men det som söks är den blåa vinkeln.

Du har ju bestämt vinkeln i en rätvinklig triangel med kateterna sqrt(3) och 1, dvs den röda vinkeln. Men det är den blå du söker och den är 180 grader större än så.

är det alltid 180 grader?

Ja det är alltid 180 grader man lägger på.

Kan du köra med fler uppgifter?:) av alla kvadranter

Ange ett argument för vardera av följande komplexa tal

a) 2 - i

b) 4 + 6i

c) -1 + 8i

d) -4 - 12i

a) -26.6 grader

b) 54.3

c) 97.12

d) 251.6

ser det bra ut

Det ser bra ut.

b) Här antar jag att du bara gjorde ett typo, det bör vara 56.3

Kan man säga att något som har formen a-bi alltid kommer ha en negativ vinkel?

Nej som sagt, argumentet är inte unikt på något sätt. Vi kan alltid lägga på multipler av $360\textdegree$ på argumentet. Du har så att säga hittat ett enda, men det finns oändligt många. Som på a) så kan vi också svara $-26.6 + 360 = 333.4$ och säga att argumentet är $333.4\textdegree$.

Okej men för de andra kvadranterna utan första kvadranten, dvs. tredje och andra måste man lägga till 180 och sedan n*360  om man vill hitta samma vinkel?

Japp, i tredje och andra kvadraten måste man först lägga på 180 grader, sedan kan man lägga på $360\textdegree n$. I första och fjärde kommer man inte behöva lägga på $180\textdegree$.

Okej, men om man ska förklara varöfr man inte behöver lägga på 180 grader i fjärde hur kan man förklara det på ett bra sätt? :)

Ja det har att göra med att $\arctan$ alltid ger en vinkel i intervallet $-90\textdegree$ till $90\textdegree$, så i fjärde och första kvadraten kommer den ge rätt vinkel direkt. I andra och tredje behövs det att man lägger på 180 grader. Men jag vet inte hur bra förklaring det är.

Tack för hjälpen!